Bài 1. Mệnh đề

Chương I. Mệnh đề và tập hợp

1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến

Mệnh đề Mỗi khẳng định có tính đúng hoặc sai gọi là một mệnh đề lôgic (gọi tắt là mệnh đề). Câu không xác định được tính đúng sai (câu hỏi, câu cảm thán, câu cầu khiến…) không phải mệnh đề.

Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai; một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Thường dùng các chữ cái $P, Q, R, \dots$ để kí hiệu mệnh đề. Mệnh đề liên quan đến toán học gọi là mệnh đề toán học.

Ví dụ 1 “Phương trình

3 x^{2} - 5 x + 2 = 0

có nghiệm nguyên” là mệnh đề đúng

(x = 1)

; “

5 < 7 - 3

” là mệnh đề sai; “Có bao nhiêu dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng?” (câu hỏi) và “Đấy là cách xử lí khôn ngoan!” (câu cảm thán) không là mệnh đề.

Mệnh đề chứa biến Câu “

n

chia hết cho 2” (với

n

là số tự nhiên) chưa khẳng định được đúng sai, nhưng thay

n

bằng số cụ thể thì được mệnh đề (với

n = 5

: sai;

n = 10

: đúng). Câu như vậy gọi là mệnh đề chứa biến.

2. Mệnh đề phủ định

Phủ định Để phủ định mệnh đề

P

, thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ. Kí hiệu mệnh đề phủ định của

P

là

\overset{ˉ}{P}

P

và

\overset{ˉ}{P}

là hai phát biểu trái ngược nhau:

P

đúng thì

\overset{ˉ}{P}

sai;

P

sai thì

\overset{ˉ}{P}

đúng.

Ví dụ 2

P

: “17 là số chính phương”

\Rightarrow \overset{ˉ}{P}

: “17 không phải là số chính phương”.

Q

: “Hình hộp chữ nhật không phải là hình lăng trụ đứng tứ giác”

\Rightarrow \overset{ˉ}{Q}

: “Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng tứ giác”.

3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo

Mệnh đề kéo theo Mệnh đề “Nếu

P

thì

Q

” gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu

P \Rightarrow Q

.
Chú ý:

P \Rightarrow Q

chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai. Do đó chỉ cần xét tính đúng sai của

P \Rightarrow Q

khi

P

đúng:

Q

đúng thì

P \Rightarrow Q

đúng,

Q

sai thì

P \Rightarrow Q

sai.

Định lí – điều kiện cần, điều kiện đủ Các định lí toán học là những mệnh đề đúng, thường có dạng

P \Rightarrow Q

. Khi đó:

$P$ là giả thiết, $Q$ là kết luận của định lí;
“ $P$ là điều kiện đủ để có $Q$ ”, hoặc “ $Q$ là điều kiện cần để có $P$ ”.

Mệnh đề đảo Mệnh đề

Q \Rightarrow P

gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề

P \Rightarrow Q

Nhận xét Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng. VD: “Nếu tam giác

A BC

đều thì cân” (đúng) có mệnh đề đảo “Nếu tam giác

A BC

cân thì đều” là sai.

Xem trên mô phỏngKéo điểm X trong mô phỏng biểu đồ Ven để thấy khi nào P ⇒ Q đúng hay sai, và so sánh với mệnh đề đảo Q ⇒ P.

4. Mệnh đề tương đương

Định nghĩa Mệnh đề “

P

nếu và chỉ nếu

Q

” gọi là mệnh đề tương đương, kí hiệu

P \Leftrightarrow Q

.
Nhận xét: nếu cả

P \Rightarrow Q

và

Q \Rightarrow P

đều đúng thì

P \Leftrightarrow Q

đúng. Khi đó nói “

P

tương đương với

Q

”, hoặc “

P

là điều kiện cần và đủ để có

Q

”, hoặc “

P

khi và chỉ khi

Q

”.

Ví dụ 5 “Tứ giác

A BC D

là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác

A BC D

là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” – mệnh đề tương đương đúng vì cả hai chiều đều đúng. Số tự nhiên

n

chia hết cho

5 \Leftrightarrow

chữ số tận cùng của

n

bằng 0 hoặc 5.

5. Mệnh đề có chứa kí hiệu $\forall, \exists$

Kí hiệu $\forall$ đọc là “với mọi”; $\exists$ đọc là “tồn tại”.

“Mọi số thực đều có bình phương không âm”: $P$ : “ $\forall x \in R, x^{2} \geq 0$ ” (đúng).
“Có một số hữu tỉ mà bình phương của nó bằng 2”: $Q$ : “ $\exists x \in Q, x^{2} = 2$ ” (sai).

Phủ định của mệnh đề có kí hiệu

\forall, \exists

Phủ định của “

\forall

” là “

\exists

” và ngược lại; đồng thời phủ định phần mệnh đề sau:

$P$ : “ $\forall n \in N, n \cdot 1 = n$ ” có phủ định $\overset{ˉ}{P}$ : “ $\exists n \in N, n \cdot 1 \neq = n$ ”.
$P$ : “ $\exists x \in R, x^{2} + 1 = 0$ ” (sai) có phủ định $\overset{ˉ}{P}$ : “ $\forall x \in R, x^{2} + 1 \neq = 0$ ” (đúng).