Bài 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Chương I. Mệnh đề và tập hợp

1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp

Tập hợp, phần tử Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách:

Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp (VD: $D = {7; 11; 13; 17; 19}$ );
Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử (VD: $D = {n \in N ∣ n$ là số nguyên tố, $5 < n < 20}$ ).

a \in S

: phần tử

a

thuộc tập hợp

S; a \in / S

: không thuộc. Số phần tử của tập

S

kí hiệu $n (S)$ .
Tập rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu $\emptyset$ (VD: tập nghiệm của phương trình

x^{2} + 1 = 0

Tập con Nếu mọi phần tử của tập

T

đều là phần tử của tập

S

thì

T

là tập hợp con (tập con) của

S

, viết

T \subset S

(đọc “

T

chứa trong

S

” hoặc “

T

là tập con của

S

”). Còn viết

S \supset T

; kí hiệu

T \neq \subset S

là

T

không là tập con của

S

.
Nhận xét:

T \subset S

nếu mệnh đề “

\forall x, x \in T \Rightarrow x \in S

” đúng. Quy ước: tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.
Minh hoạ tập hợp bằng hình phẳng bao quanh bởi đường cong kín gọi là biểu đồ Ven.

Hai tập hợp bằng nhau

S

và

T

là hai tập hợp bằng nhau nếu mỗi phần tử của

T

cũng là phần tử của

S

và ngược lại. Kí hiệu

S = T

. Nếu

S \subset T

và

T \subset S

thì

S = T

Ví dụ 3

C = {n \in N ∣ n

là bội chung của 2 và

3; n < 30} = {0; 6; 12; 18; 24} = D = {n \in N ∣ n

là bội của

6; n < 30}

2. Các tập hợp số

Các tập hợp số

$N = {0; 1; 2; 3; 4; \dots}$ (số tự nhiên).
$Z = {\dots; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; \dots}$ (số nguyên: số tự nhiên và số nguyên âm).
$Q$ : số hữu tỉ – viết được dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ với $a, b \in Z, b \neq = 0$ ; còn biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
$R$ : số thực, gồm số hữu tỉ và số vô tỉ (số thập phân vô hạn không tuần hoàn).

Mối quan hệ:

N \subset Z \subset Q \subset R

Các tập con thường dùng của

R

Loại	Kí hiệu	Tập hợp
Khoảng	$(a; b)$	${x \in R ∣ a < x < b}$
	$(a; + \infty)$	${x \in R ∣ x > a}$
	$(- \infty; b)$	${x \in R ∣ x < b}$
	$(- \infty; + \infty)$	$R$
Đoạn	$[a; b]$	${x \in R ∣ a \leq x \leq b}$
Nửa khoảng	$[a; b)$	${x \in R ∣ a \leq x < b}$
	$(a; b]$	${x \in R ∣ a < x \leq b}$
	$[a; + \infty)$	${x \in R ∣ x \geq a}$
	$(- \infty; b]$	${x \in R ∣ x \leq b}$

+ \infty

: dương vô cực;

- \infty

: âm vô cực;

a, b

là các đầu mút của đoạn, khoảng, nửa khoảng. Trên trục số, đầu mút thuộc tập thì vẽ dấu “[” hoặc “]”, không thuộc thì vẽ dấu “(” hoặc “)”.

3. Các phép toán trên tập hợp

Giao, hợp, hiệu

Giao của $S$ và $T : S \cap T = {x ∣ x \in S$ và $x \in T}$ .
Hợp của $S$ và $T : S \cup T = {x ∣ x \in S$ hoặc $x \in T}$ .
Hiệu của $S$ và $T : S ∖ T = {x ∣ x \in S$ và $x \in / T}$ .
Nếu $T \subset S$ thì $S ∖ T$ gọi là phần bù của $T$ trong $S$ , kí hiệu $C_{S} T$ . Chú ý: $C_{S} S = \emptyset$ .

Ví dụ 6, 7

C = {4; 7; 27}, D = {2; 4; 9; 27; 36} \Rightarrow C \cap D = {4; 27} . E = [1; + \infty), F = (- \infty; 3] \Rightarrow E \cap F = [1; 3] . E = (- 1; 2], F = [0; 3] \Rightarrow E \cup F = (- 1; 3]

Ví dụ 8 – tình huống mở đầu Câu lạc bộ có 12 thành viên;

A

(chuyên đề 1) có 7 người,

B

(chuyên đề 2) có 7 người;

A \cup B

có 10 thành viên

\Rightarrow

số thành viên vắng mặt trong cả hai chuyên đề là

12 - 10 =

Công thức đếm

n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)

. VD (Vận dụng): lớp có 24 bạn thi đấu bóng đá (16) và cầu lông

(11) \Rightarrow

số bạn thi cả hai môn:

x = 16 + 11 - 24 =

Mô phỏng tương tác: biểu đồ Ven

Kéo điểm X, kéo tâm hai tập A, B, chọn phép toán để tô màu vùng tương ứng và quan sát chân trị của các mệnh đề.

Mô phỏngBiểu đồ Ven – giao, hợp, hiệu, phần bù

Mở ở trang riêng ↗

Bài 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp

2. Các tập hợp số

3. Các phép toán trên tập hợp

Mô phỏng tương tác: biểu đồ Ven

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chương I