Bài 2. Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng

Chuyên đề 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

1. Phép thử lặp và công thức Bernoulli

Phép thử lặp Phép thử

T

, biến cố

E

có

P (E) = p (0 < p < 1)

. Thực hiện

T

lặp lại

n

lần một cách độc lập (các lần không ảnh hưởng nhau) gọi là phép thử lặp.

Công thức Bernoulli

E_{k}

: “trong

n

lần lặp,

E

xuất hiện đúng

k

lần”

(0 \leq k \leq n)

$P (E_{k}) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$

Ví dụ 1 Xác suất thí nghiệm thành công 0,4; 9 học sinh độc lập thực hiện:

Đúng 6 em thành công: $C_{9}^{6} \cdot 0, 4^{6} \cdot 0, 6^{3} = 84 \cdot 0, 4^{6} \cdot 0, 6^{3} \approx$ 0,0743.
Ít nhất 1 em: $1 - P (E_{0}) = 1 - 0, 6^{9} \approx$ 0,9899.
Nhiều nhất 7 em: $1 - [P (E_{8}) + P (E_{9})] \approx 1 - 0, 0038 =$ 0,9962.

Ví dụ 2 – tình huống mở đầu (xúc xắc) PA1: gieo 12 lần, thắng nếu ít nhất 2 lần ra mặt

6 (p = \frac{1}{6}) : P = 1 - (\frac{5}{6})^{12} - 12 \cdot (\frac{1}{6}) (\frac{5}{6})^{11} \approx

0,618667.
PA2: gieo 6 lần, thắng nếu ít nhất 1 lần ra mặt

6 : 1 - (\frac{5}{6})^{6} \approx

0,665.

\Rightarrow

chọn phương án 2 (xác suất thắng cao hơn).

Mẹo “Ít nhất 1”

\to

dùng biến cố đối

(1 - P (E_{0}))

; “ít nhất / nhiều nhất k”

\to

cộng các

P (E_{j})

cần thiết hoặc dùng biến cố đối cho ít số hạng hơn.

2. Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức

Định nghĩa

X

là số lần xuất hiện

E

trong

n

lần thực hiện lặp lại độc lập phép thử

T (P (E) = p)

. Khi đó

X

nhận giá trị

{0; 1; \dots; n}

với

$P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}$

và gọi là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số

(n, p)

, kí hiệu $X$ ~ $B (n, p)$ . Trường hợp

n = 1

: phân bố Bernoulli

B er (p)

với

P (X = 0) = 1 - p, P (X = 1) = p

Chú ý

X

B (n, p) : P (X \leq k) = \sum_{j = 0}^{k} C_{n}^{j} p^{j} (1 - p)^{n - j}; P (X \geq k) = \sum_{j = k}^{n} C_{n}^{j} p^{j} (1 - p)^{n - j}

Các số đặc trưng

$E (X) = n p; V (X) = n p (1 - p); σ (X) = n p (1 - p)$

Ví dụ 3 – trò chơi tung xu Minh tung xu cân đối 8 lần; ngửa thì tiến 1, sấp thì lùi 1; thắng nếu tiến

\geq 4

đơn vị.

X

B (8; \frac{1}{2})

; vị trí

= 2 X - 8 \geq 4 \Leftrightarrow X \geq 6 \Rightarrow P = \frac{C _{8}^{6} + C _{8}^{7} + C _{8}^{8}}{2 ^{8}} = \frac{37}{256} \approx

0,1445.

Ví dụ 4 – gieo xúc xắc 18 lần

X

B (18; \frac{1}{6})

. Thắng khi

X \geq 3 \Rightarrow P = 1 - P (X \leq 2) \approx

0,5973.

E (X) = \frac{18 \cdot 1}{6} = 3; V = 18 \cdot (\frac{1}{6}) (\frac{5}{6}) = 2, 5; σ \approx 1, 5811

Vận dụng – bài thi trắc nghiệm 10 câu, mỗi câu 4 phương án, chọn ngẫu nhiên:

X

B (10; \frac{1}{4})

: trung bình đạt

E (X) = 2, 5

điểm;

P (X \geq 5) \approx

0,0781 (7,81%) — chọn bừa rất khó vượt qua.

Khi nào là phân bố nhị thức? Kiểm tra 4 điều: (1) số lần lặp

n

cố định; (2) mỗi lần chỉ có hai kết quả (xảy ra / không xảy ra); (3) xác suất

p

không đổi; (4) các lần độc lập. Lấy không hoàn lại từ tập nhỏ thì không là nhị thức.

Tổng kết chuyên đề 1

Phân bố xác suất của $X$ rời rạc: tổng xác suất bằng $1. E (X) = \sum x_{i} p_{i}; V (X) = \sum x_{i}^{2} p_{i} - μ^{2}; σ = V$ .
Bernoulli: $P (E_{k}) = C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}$ ; $X$ ~ $B (n, p)$ có $E = n p, V = n p (1 - p)$ .

Bài 2. Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng

1. Phép thử lặp và công thức Bernoulli

2. Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chuyên đề 1