Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Chuyên đề 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc và bảng phân bố xác suất

Biến ngẫu nhiên rời rạc Đại lượng

X

là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận một số hữu hạn các giá trị có thể và các giá trị đó là số, không dự đoán được trước khi phép thử được thực hiện. Thường kí hiệu bằng chữ in hoa

X, Y, Z

Ví dụ 1 – tung đồng xu Tung đồng xu cân đối 3 lần;

X

là số lần xuất hiện mặt ngửa:

X \in {0; 1; 2; 3}

. Không gian mẫu có 8 kết quả:

P (X = 0) = \frac{1}{8}; P (X = 1) = \frac{3}{8}; P (X = 2) = \frac{3}{8}; P (X = 3) = \frac{1}{8}

Bảng phân bố xác suất

X

nhận các giá trị

x_{1}, \dots, x_{n}

với

P (X = x_{i}) = p_{i}

X	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{n}$
P	$p_{1}$	$p_{2}$	…	$p_{n}$

$p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$ (mọi $p_{i} \geq 0$ )

Ví dụ 2, 3 – dùng tổng bằng 1 và quy tắc cộng

X = 1; 2; 3; 4

với xác suất

a; a; 3 a; 3 a \Rightarrow 8 a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{8}

.
Số vụ vi phạm Luật Giao thông:

X = 0; 1; 2; 3; 4; 5

với xác suất

0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 2; 0, 15; 0, 05. P (X \leq 1) = 0, 3; P (X \geq 3) = 0, 2 + 0, 15 + 0, 05 = 0, 4; P (X \geq 2) = 1 - P (X \leq 1) = 0, 7

(dùng biến cố đối).

Ví dụ 4 – lấy bi đồng thời Túi 6 bi đỏ, 4 bi xanh, lấy 3 bi;

X

là số bi xanh. Có

C_{10}^{3} = 120

kết quả:

P (0) = \frac{C _{6}^{3}}{120} = \frac{1}{6}; P (1) = \frac{4 \cdot 15}{120} = \frac{1}{2}; P (2) = \frac{6 \cdot 6}{120} = \frac{3}{10}; P (3) = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}

Cách lập bảng (1) Liệt kê các giá trị của

X; (2)

tính

P (X = x_{i})

bằng đếm (tổ hợp) hoặc quy tắc nhân/cộng; (3) kiểm tra tổng bằng 1.

2. Các số đặc trưng

a) Kì vọng

$E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}$

Là giá trị trung bình của

X

; tính qua bảng phân bố; không nhất thiết là một giá trị mà

X

có thể nhận.

Ví dụ 5, 6 Số cá ông An câu được: 0; 1; 2; 3; 4 với

0, 16; 0, 18; 0, 25; 0, 28; 0, 13 \Rightarrow E = 0, 18 + 0, 5 + 0, 84 + 0, 52 =

2,04 con.
Trò chơi (tình huống mở đầu): vòng 1 chọn câu loại I (đúng 0,8: 20 điểm), vòng 2 câu loại II (đúng 0,6: 80 điểm).

X = 0 (0, 2); 20 (0, 8 \cdot 0, 4 = 0, 32); 100 (0, 8 \cdot 0, 6 = 0, 48) \Rightarrow E (X) = 0 + 6, 4 + 48 =

54,4 điểm. So sánh với cách chọn câu loại II trước để quyết định nên chọn loại nào (chọn phương án có kì vọng lớn hơn).

b) Phương sai, độ lệch chuẩn Với

μ = E (X)

Phương sai: $V (X) = (x_{1} - μ)^{2} p_{1} + \dots + (x_{n} - μ)^{2} p_{n}$
Công thức rút gọn: $V (X) = x_{1}^{2} p_{1} + \dots + x_{n}^{2} p_{n} - μ^{2}$
Độ lệch chuẩn: $σ (X) = V (X)$

V (X) \geq 0

; càng lớn thì giá trị càng phân tán quanh kì vọng.

σ

cùng đơn vị với

X

, phương sai khác đơn vị.

Ví dụ 7

X = 0..5

với

0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 2; 0, 1; 0, 1 : E = 2, 3; V = 2, 01

(theo định nghĩa) và theo công thức rút gọn:

0, 2 + 1, 2 + 2, 4 + 1, 6 + 2, 5 - 5, 29 = 2, 01; σ \approx

1,418.

Chọn phương án đầu tư (HĐ4) PA1: doanh thu 8 tỉ (xác suất 1/3) hoặc 2 tỉ

(\frac{2}{3}) : E = 4

; PA2: 5 tỉ hoặc 3 tỉ (đều

\frac{1}{2}) : E = 4

. Kì vọng bằng nhau; PA2 có độ lệch chuẩn nhỏ hơn (1 so với

2, 83) \Rightarrow

ít rủi ro hơn.

Tóm tắt Bảng phân bố

\to E

(trung bình)

\to V

(độ phân tán)

\to σ

. Cùng kì vọng thì ưu tiên

σ

nhỏ (ổn định).

Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

1. Biến ngẫu nhiên rời rạc và bảng phân bố xác suất

2. Các số đặc trưng

Sơ đồ tư duy