Bài 4. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

Chuyên đề 2. Ứng dụng toán học để giải quyết một số bài toán tối ưu

1. Bài toán tối ưu trong thực tiễn – các bước giải

5 bước giải bài toán tối ưu bằng đạo hàm

Hiểu vấn đề: cái gì cần tối ưu? điều kiện nào đã cho?
Giới thiệu kí hiệu: đặt kí hiệu cho đại lượng cần cực đại / cực tiểu $(L, S, P, \dots)$ và cho các đại lượng chưa biết $(x, t, a, b, \dots)$ .
Tìm mối quan hệ giữa các biến: lập phương trình, biểu diễn đại lượng cần tối ưu dưới dạng hàm một biến $L = f (x)$ ; tìm miền xác định.
Phát biểu lại thành bài toán tìm giá trị lớn nhất / nhỏ nhất của hàm một biến.
Giải: dùng đạo hàm, bảng biến thiên / quy tắc trên đoạn; trả lời bằng ngôn ngữ bài toán.

Ví dụ 1 – người đánh cá chèo thuyền Thuyền ở

A

, cách bờ 2 km (chân

P

); nhà ở

B

cách

P 6

km về phía bắc. Chèo 3 km/

h

, đi bộ 5 km/

h

; chèo đến

Q

trên bờ

(PQ = x, 0 \leq x \leq 6)

rồi đi bộ.

$T (x) = \frac{4 + x ^{2}}{3} + \frac{6 - x}{5}$

T^{'} (x) = \frac{x}{3 4 + x ^{2}} - \frac{1}{5} = 0 \Leftrightarrow 3 4 + x^{2} = 5 x \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} . T (0) = \frac{28}{15} \approx 1, 867; T (6) = \frac{40}{3} \approx 2, 108; T (\frac{3}{2}) = \frac{26}{15} \approx

1,733 giờ (nhỏ nhất)

\Rightarrow

chèo đến điểm

Q

cách

P

1,5 km về phía bắc.
Nếu có động cơ 5 km/ $h$ :

T^{'} (x) = (\frac{1}{5}) (\frac{x}{4 + x ^{2}} - 1) < 0

nên

T

nghịch biến, nhỏ nhất tại

x = 6

: đi thẳng từ

A

về

B

Ví dụ 2 – nguyên lí Fermat, định luật phản xạ ánh sáng Tia sáng đi từ

A

đến

B

qua điểm

P

trên gương sao cho đường

A PB

ngắn nhất. Đặt

A A^{'} = a, B B^{'} = b, A^{'} B^{'} = c, A^{'} P = x : L (x) = a^{2} + x^{2} + b^{2} + (c - x)^{2} . L^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{a}{x} = \frac{b}{c - x} \Leftrightarrow x_{0} = \frac{a c}{a + b} \Leftrightarrow cot i = cot i^{'} \Rightarrow

góc tới = góc phản xạ;

L (x_{0}) = (a + b)^{2} + c^{2}

là nhỏ nhất.
(Luyện tập: định luật khúc xạ Snell

\frac{sin i}{sin r} = \frac{v _{kk}}{v _{n}}

chứng minh tương tự.)

Luyện tập – ném xiên

y = - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} α} + x tan α

với

v_{0} = 9

s

: độ cao lớn nhất khi

x = v_{0}^{2} sin α \frac{cos α}{g}

; tầm xa lớn nhất khi

α = 45°

2. Bài toán tối ưu trong kinh tế

Các hàm kinh tế

Hàm chi phí $C (x)$ : tổng chi phí sản xuất $x$ đơn vị hàng.
Hàm cầu (hàm giá) $p (x)$ : giá bán mỗi đơn vị khi bán $x$ đơn vị (hàm giảm theo $x$ ).
Hàm doanh thu: $R (x) = x \cdot p (x)$ .
Hàm lợi nhuận: $P (x) = R (x) - C (x)$ .
Chi phí biên $C^{'} (x)$ , doanh thu biên $R^{'} (x)$ , lợi nhuận biên $P^{'} (x)$ là các đạo hàm tương ứng (tốc độ thay đổi); chi phí trung bình $c (x) = \frac{C ( x )}{x}$ .

Ví dụ 3 – bán máy sấy tóc 200 máy/tháng giá 150 nghìn; mỗi lần giảm 5 nghìn thì bán thêm 20 máy

\Rightarrow

hàm cầu

p (x) = 150 - (\frac{1}{20}) \cdot 5 (x - 200) = 200 - \frac{x}{4}

; doanh thu

R (x) = 200 x - \frac{x ^{2}}{4} . R^{'} = 200 - \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow x = 400, R = 40000, p (400) = 100 \Rightarrow

giảm giá 50 nghìn đồng.

Ví dụ 4 – bán thiệp 8/3 Mua 8 nghìn/tấm, bán 20 nghìn được 500 chiếc; mỗi lần giảm 1 nghìn bán thêm 50 chiếc. Giảm

x

nghìn

(0 \leq x \leq 20) : P (x) = (20 - x) (500 + 50 x) - 8 (500 + 50 x) = (12 - x) (500 + 50 x) = 6000 + 100 x - 50 x^{2} . P^{'} = 100 - 100 x = 0 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow P =

6 050 nghìn (lớn nhất): giá bán 19 nghìn/tấm.

Ví dụ 5 – chi phí trung bình nhỏ nhất

C (x) = 3400 + 6 x + 0, 02 x^{2} : c (x) = \frac{3 400}{x} + 6 + 0, 02 x

; chi phí biên

C^{'} = 6 + 0, 04 x

. Tại

x = 500

: chi phí 11 400, trung bình 22,8, biên

26; x = 1000 : 29400; 29, 4; 46; x = 2000 : 95400; 47, 7; 86. c^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 170000 \Rightarrow x = 10017 \approx 412, 3

; so

c (412) < c (413) \Rightarrow

sản xuất 412 đơn vị. (Tại điểm này chi phí biên = chi phí trung bình.)

Lưu ý Xác định đúng điều kiện của biến (

0 \leq x \leq 20, x

nguyên…); khi biến nguyên mà nghiệm

f^{'} = 0

không nguyên thì so sánh hai số nguyên gần nhất. Ghi kết luận có đơn vị (nghìn đồng, triệu đồng, km, giờ).

Tổng kết chuyên đề 2

Quy hoạch tuyến tính: ràng buộc là hệ bất phương trình bậc nhất; giá trị tối ưu đạt tại đỉnh của miền nghiệm.
Tối ưu bằng đạo hàm: đặt biến $\to$ lập hàm một biến $\to$ tìm GTLN/GTNN; kinh tế: doanh thu $R = x p (x)$ , lợi nhuận $P = R - C$ .

Bài 4. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

1. Bài toán tối ưu trong thực tiễn – các bước giải

2. Bài toán tối ưu trong kinh tế

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chuyên đề 2