Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Chương II. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

x, y

có dạng tổng quát:

a x + b y \leq c

(hoặc

a x + b y \geq c, a x + b y < c, a x + b y > c

)
trong đó

a, b, c

là những số thực cho trước,

a

và

b

không đồng thời bằng 0,

x

và

y

là các ẩn số.

Nghiệm Cặp số

(x_{0}; y_{0})

là một nghiệm của bất phương trình

a x + b y \leq c

nếu bất đẳng thức

a x_{0} + b y_{0} \leq c

đúng.
Nhận xét: bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Ví dụ 1, 2

2 x + 3 y < 1

là bất phương trình bậc nhất hai ẩn;

2 x^{2} + 3 y < 1

thì không (chứa

x^{2}

). Với

x + 2 y > 5 : (3; 4)

là nghiệm vì

3 + 2 \cdot 4 = 11 > 5; (0; - 1)

không là nghiệm vì

0 + 2 \cdot (- 1) = - 2 < 5

2. Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng toạ độ

Miền nghiệm Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình

a x + b y \leq c

gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.
Đường thẳng

d : a x + b y = c

chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng bờ $d$ : một nửa (không kể bờ) gồm các điểm thoả

a x + b y > c

, nửa còn lại gồm các điểm thoả

a x + b y < c

; bờ

d

gồm các điểm thoả

a x + b y = c

Cách biểu diễn miền nghiệm của

a x + b y \leq c

Vẽ đường thẳng $d : a x + b y = c$ trên mặt phẳng $O x y$ .
Lấy một điểm $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ không thuộc $d$ . (Nếu $c \neq = 0$ , thường chọn $M_{0}$ là gốc toạ độ; nếu $c = 0$ , thường chọn $(1; 0)$ hoặc $(0; 1)$ .)
Tính $a x_{0} + b y_{0}$ và so sánh với $c$ .
Nếu $a x_{0} + b y_{0} < c$ thì nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa $M_{0}$ là miền nghiệm; nếu $a x_{0} + b y_{0} > c$ thì nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa $M_{0}$ là miền nghiệm.

Chú ý Miền nghiệm của

a x + b y < c

là miền nghiệm của

a x + b y \leq c

bỏ đi đường thẳng $a x + b y = c$ (vẽ đường thẳng bằng nét đứt).

Ví dụ 3, 4

x + y \geq 100

: vẽ

d : x + y = 100

; lấy

O (0; 0) : 0 + 0 < 100 \Rightarrow

miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ

d

không chứa gốc toạ độ.

5 x - 7 y \leq 0

: lấy

M_{0} (0; 1) : 5 \cdot 0 - 7 \cdot 1 = - 7 < 0 \Rightarrow

miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ

d

chứa

M_{0}

3. Ứng dụng vào bài toán thực tiễn

Ví dụ 5 – tình huống mở đầu (rạp chiếu phim) Vé loại 1: 50 000 đồng; vé loại 2: 100 000 đồng; cần thu ít nhất 20 triệu đồng để không lỗ. Gọi

x, y

là số vé loại 1, loại

2 (x, y \in N)

: số tiền thu được

50 x + 100 y

(nghìn đồng). Bù lỗ khi

50 x + 100 y < 20000 \Leftrightarrow

$x + 2 y < 400$ .
Vẽ

d : x + 2 y = 400; O (0; 0) : 0 < 400 \Rightarrow

miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ

d

chứa

O

, không kể

d

. Nếu (

x

; y) thuộc miền tam giác

O A B

(không kể cạnh

A B

) thì rạp phải bù lỗ; nằm trên đoạn

A B

thì hoà vốn.
VD:

(150; 150)

có lãi;

(200; 100)

hoà vốn;

(100; 100)

phải bù lỗ.

Mô phỏng tương tác: miền nghiệm của bất phương trình

Nhập bất phương trình, quan sát phần bị gạch (không thuộc miền nghiệm), kéo điểm M để kiểm tra một cặp số có là nghiệm hay không.

Mô phỏngMiền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình

Mở ở trang riêng ↗

Bài 3. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2. Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng toạ độ

3. Ứng dụng vào bài toán thực tiễn

Mô phỏng tương tác: miền nghiệm của bất phương trình

Sơ đồ tư duy