Bài 28. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Chương 1. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Tình huống mở đầu Ông An đầu tư 240 triệu đồng vào ba quỹ: quỹ thị trường tiền tệ (lãi 3%/năm), trái phiếu chính phủ (lãi 4%/năm) và ngân hàng (lãi 7%/năm). Số tiền đầu tư vào ngân hàng nhiều hơn vào trái phiếu chính phủ 80 triệu đồng; tổng tiền lãi năm đầu ở cả ba quỹ là 13,4 triệu đồng. Hỏi ông An đầu tư bao nhiêu tiền vào mỗi quỹ?

Phương trình bậc nhất ba ẩn Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát

a x + b y + cz = d

, trong đó

x, y, z

là ba ẩn;

a, b, c, d

là các hệ số và

a, b, c

không đồng thời bằng 0.
Mỗi bộ ba số

(x_{0}; y_{0}; z_{0})

thoả mãn

a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} = d

gọi là một nghiệm của phương trình.

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ gồm một số phương trình bậc nhất ba ẩn; mỗi nghiệm chung của các phương trình gọi là một nghiệm của hệ. Dạng tổng quát của hệ ba phương trình:

a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1}; a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2}; a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3}

(trong mỗi phương trình, ít nhất một trong các hệ số

a_{i}, b_{i}, c_{i}

khác 0).
Chú ý: sách chỉ xét hệ có số phương trình bằng đúng số ẩn, nên gọi tắt là hệ phương trình bậc nhất ba ẩn (hay hệ bậc nhất ba ẩn).

Ví dụ 1 Hệ có phương trình chứa

z^{2}

(ví dụ

4 z^{2}

ở phương trình thứ ba) không phải hệ bậc nhất. Hệ

- 2 x + y + z = - 3; 5 x + y - 3 z = 16; x + 2 y = 5

là hệ bậc nhất ba ẩn và

(1; 2; - 3)

là một nghiệm vì thay vào được

- 3 = - 3; 16 = 16; 5 = 5

2. Giải hệ bằng phương pháp Gauss

Hệ dạng tam giác Hệ dạng tam giác (ví dụ

x + y - 2 z = 3; y + z = 7; 2 z = 4

) giải rất đơn giản: giải từ phương trình chứa một ẩn, thay giá trị vừa tìm vào phương trình chứa hai ẩn để tìm ẩn thứ hai, cuối cùng thay vào phương trình còn lại để tìm ẩn thứ ba.

Ví dụ 2

x + y - 2 z = 4; 3 y + z = 2; - z = 1 \Rightarrow z = - 1; 3 y - 1 = 2 \Rightarrow y = 1; x + 1 + 2 = 4 \Rightarrow x = 1

. Nghiệm

(1; 1; - 1)

Phương pháp Gauss Để giải hệ bậc nhất ba ẩn, ta đưa hệ về một hệ đơn giản hơn (thường có dạng tam giác) bằng các phép biến đổi:

Nhân hai vế của một phương trình với một số khác 0;
Đổi vị trí hai phương trình của hệ;
Cộng mỗi vế của một phương trình (sau khi đã nhân với một số khác 0) với vế tương ứng của phương trình khác để được phương trình mới có số ẩn ít hơn (khử ẩn).

Phương pháp này gọi là phương pháp Gauss (Johann Carl Friedrich Gauss, 1777–1855).

Ví dụ 3 – nghiệm duy nhất

x + y + z = 2; 7 x + 3 y + z = 4; - 5 x + 7 y - 2 z = 5

. Nhân phương trình 1 với (−7) cộng phương trình

2 \Rightarrow - 4 y - 6 z = - 10

; nhân phương trình 1 với 5 cộng phương trình

3 \Rightarrow 12 y + 3 z = 15

; nhân phương trình 2 mới với 3 cộng phương trình

3 \Rightarrow - 15 z = - 15

. Suy ra

z = 1, y = 1, x = 0

. Hệ có nghiệm duy nhất

(0; 1; 1)

Ví dụ 4 – vô nghiệm

2 x + y - z = 5; x + y + z = 3; 5 x + 4 y + 2 z = 10

. Đổi chỗ phương trình 1, 2; khử

x

ở hai phương trình dưới được hệ

x + y + z = 3; - y - 3 z = - 1; - y - 3 z = - 5

. Hai phương trình cuối cho

- 1 = - 5

(vô lí)

\Rightarrow

hệ vô nghiệm.

Ví dụ 5 – vô số nghiệm

5 x + y - 4 z = 2; x - y - z = - 1; 3 x + 3 y - 2 z = 4

. Sau khi khử

x

, hai phương trình cuối giống nhau

(6 y + z = 7)

nên được hệ dạng hình thang

x - y - z = - 1; 6 y + z = 7

. Rút

z = 7 - 6 y, x = - 5 y + 6

. Tập nghiệm

S = {(- 5 y + 6; y; 7 - 6 y) ∣ y \in R}

.
Nhận xét: hệ bậc nhất ba ẩn có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.

Ví dụ 6 – giải tình huống mở đầu Gọi

x, y, z

(triệu đồng) là số tiền đầu tư vào ba quỹ:

x + y + z = 240; - y + z = 80; 0, 03 x + 0, 04 y + 0, 07 z = 13, 4

. Giải bằng Gauss được

z = 140, y = 60, x = 40

. Vậy đầu tư 40 triệu (thị trường tiền tệ), 60 triệu (trái phiếu chính phủ), 140 triệu (ngân hàng).

3. Tìm nghiệm bằng máy tính cầm tay

Cách làm (máy tính Casio thông dụng, theo sách)

Vào chương trình giải phương trình: bấm MODE 5.
Chọn 2 (hệ phương trình bậc nhất ba ẩn).
Nhập lần lượt các hệ số $a_{1}, b_{1}, c_{1}, d_{1}, \dots$ mỗi số kèm phím “=”, rồi bấm “=” để xem $x$ , tiếp tục “=” để xem $y, z$ .

Ví dụ HĐ

4 : - 2 x - 3 y + z = 5; 2 x + y + 2 z = - 3; - x + 2 y - 3 z = 2

cho

(- 4; \frac{11}{7}; \frac{12}{7})

.
Máy báo “No-Solution” khi hệ vô nghiệm (VD 7a:

x + y + z = 7; 3 x - 2 y + 2 z = 5; 4 x - y + 3 z = 10

) và “Infinite Sol” khi hệ có vô số nghiệm (VD 7b:

x + y + 2 z = 9; 2 x - y + 3 z = 9; 5 x + 2 y + 9 z = 36

Vận dụng (đề trong sách) Vận dụng 1: Hà mua văn phòng phẩm hết 820 nghìn đồng; số tiền trả cho Lan ít hơn nửa số tiền trả cho Hà 5 nghìn; Minh nhiều hơn Lan 210 nghìn — tìm số tiền Lan, Minh phải trả Hà. Vận dụng 2: khoảng 400 loài động vật có nguy cơ tuyệt chủng; nhóm có vú, chim, cá chiếm 55%; chim nhiều hơn cá 0,7%, cá nhiều hơn có vú 1,5% — tìm phần trăm mỗi nhóm. (Sách chỉ nêu đề.)

Bài 28. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

2. Giải hệ bằng phương pháp Gauss

3. Tìm nghiệm bằng máy tính cầm tay

Sơ đồ tư duy