Bài 27. Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Chương IX. Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

1. Sử dụng phương pháp tổ hợp

Ý tưởng Trong nhiều bài toán, để tính số phần tử của không gian mẫu và của biến cố, ta dùng các quy tắc đếm và các công thức tính số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (không liệt kê hết được). Đôi khi người ta gọi Đại số tổ hợp là “sự kiểm đếm không cần phải liệt kê”.

Ví dụ 1 Tổ có 10 học sinh (6 nam, 4 nữ), chọn ngẫu nhiên 6 bạn:

n (Ω) = C_{10}^{6} = 210

C

: “6 bạn đều là nam”:

n (C) = 1 \Rightarrow P (C) = \frac{1}{210}

D

: “có 4 nam và 2 nữ”: chọn 4 nam trong

6 (C_{6}^{4} = 15)

, chọn 2 nữ trong

4 (C_{4}^{2} = 6)

, nhân:

15 \cdot 6 = 90 \Rightarrow P (D) = \frac{90}{210} = \frac{3}{7}

Vận dụng – giải bài toán mở đầu (bốc thăm; sách chỉ hướng dẫn tới

n (F), n (G)

, các giá trị số do người biên soạn tính)

n (Ω) = C_{45}^{6}

(sách chưa in kết quả; người biên soạn tính:

= 8145060

F

“trúng độc đắc”:

n (F) = 1 \Rightarrow P (F) = \frac{1}{C _{45}^{6}} \approx 1, 2 \cdot 1 0^{- 7}

G

“trúng giải nhất”: công đoạn 1 chọn 5 số trong 6 số của An:

C_{6}^{5} = 6

; công đoạn 2 chọn 1 số trong 39 số còn lại:

C_{39}^{1} = 39 \Rightarrow n (G) = 6 \cdot 39 = 234 \Rightarrow P (G) = \frac{234}{C _{45}^{6}} \approx 2, 9 \cdot 1 0^{- 5}

2. Sử dụng sơ đồ hình cây

Khi nào dùng Khi phép thử

T

được hình thành từ một vài phép thử (gieo xúc xắc liên tiếp, lấy bi từ nhiều hộp, …) ta dùng sơ đồ hình cây để mô tả đầy đủ, trực quan không gian mẫu và biến cố cần tính xác suất.

Ví dụ 2 (ba hộp bi) Hộp I: 1 đỏ, 1 xanh, 1 vàng; hộp II: 1 xanh, 1 vàng; hộp III: 1 đỏ, 1 xanh; lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên. Sơ đồ hình cây cho

Ω = {

ĐXĐ; ĐXX; ĐVĐ; ĐVX; XXĐ; XXX; XVĐ; XVX; VXĐ; VXX; VVĐ; VVX

}, n (Ω) = 12

K

: “đúng một viên bi xanh” = {ĐXĐ; ĐVX; XVĐ; VXĐ; VVX

}, n (K) = 5 \Rightarrow P (K) = \frac{5}{12}

Luyện tập (đề trong sách) Vòng quay may mắn: hai bánh xe (bánh 1: loại xe 50 cc hoặc 110 cc; bánh 2: đen, trắng, đỏ, xanh) — vẽ sơ đồ hình cây mô tả

Ω

(có

2 \cdot 4 = 8

kết quả). Gia đình có ba người con, quan tâm giới tính: vẽ sơ đồ hình cây (

Ω

có

2^{3} = 8

kết quả); nếu khả năng sinh trai, gái như nhau thì xác suất có một trai hai gái là

\frac{3}{8}

(người biên soạn tính; sách chỉ nêu đề).

3. Xác suất của biến cố đối

Công thức Cho

E

là một biến cố. Khi đó:

P (\overline{E}) = 1 - P (E)

.
(Vì

n (\overline{E}) = n (Ω) - n (E)

.)
Chú ý: trong một số bài toán, nếu tính trực tiếp xác suất của biến cố gặp khó khăn thì có thể tính gián tiếp qua xác suất của biến cố đối.

Ví dụ 3 Chọn ngẫu nhiên hai số từ

{1; 2; \dots; 9}; H

: “có ít nhất một số chẵn”.

Ω

là tập các tập con hai phần tử:

n (Ω) = C_{9}^{2} = 36

. Biến cố đối

\overline{H}

: “cả hai số đều lẻ”,

n (\overline{H}) = C_{5}^{2} = 10 \Rightarrow P (\overline{H}) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \Rightarrow P (H) = 1 - \frac{5}{18} = \frac{13}{18}

Em có biết – bài toán của Pascal (1652) Người chơi chọn một trong ba phương án: (1) gieo xúc xắc 6 lần, thắng nếu có ít nhất một lần ra mặt 6 chấm; (2) gieo 12 lần, thắng nếu ít nhất hai lần ra mặt 6 chấm; (3) gieo 18 lần, thắng nếu ít nhất ba lần ra mặt 6 chấm. Pascal tính được xác suất thắng lần lượt 0,665; 0,619; 0,597 và khuyên chọn phương án 1.

Mô phỏng tương tác: tính xác suất bằng sơ đồ hình cây

Dùng sơ đồ hình cây để liệt kê không gian mẫu, chọn biến cố và tính xác suất theo định nghĩa cổ điển.

Mô phỏngSơ đồ hình cây và tính xác suất

Mở ở trang riêng ↗

Bài 27. Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

1. Sử dụng phương pháp tổ hợp

2. Sử dụng sơ đồ hình cây

3. Xác suất của biến cố đối

Mô phỏng tương tác: tính xác suất bằng sơ đồ hình cây

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chương IX