Bài 29. Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Chương 1. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

1. Giải một số bài toán vật lí, hoá học và sinh học

Ba bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Lập hệ phương trình: chọn ẩn và đặt điều kiện; biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và đại lượng đã biết; lập các phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Giải hệ phương trình nói trên.
Kiểm tra xem trong các nghiệm, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.

Ứng dụng trong sinh học Bài toán sản xuất gà giống: đàn gà 3 000 con, tỉ lệ gà trống : gà mái là 5 : 3; tỉ lệ hiệu quả nhất để sản xuất gà giống là 1 : 10,5; cần chuyển bao nhiêu gà trống sang nuôi lấy thịt? Gọi

x, y, z

là số gà trống, gà mái, gà trống chuyển đi để lập hệ. (Sách chỉ nêu đề và các bước lập hệ trong HĐ1; không in đáp số, ở đây không tự đưa kết quả.)
Ví dụ 1 (rừng ngập mặn, 1 ha): sinh khối 87,2 tấn/ha; mỗi 100 m² có 161 cây

\Rightarrow 1

ha có 16 100 cây; số cây bần bằng 15% tổng số cây mắm và cây đước; khối lượng trung bình bần 10 kg, đước 5 kg, mắm 1 kg. Gọi

x, y, z

là số cây bần, đước, mắm:

x + y + z = 16100; 20 x - 3 y - 3 z = 0; 10 x + 5 y + z = 87200 \Rightarrow x = 2100, y = 13050, z = 950

. Sinh khối bần 21 tấn/ha, đước 65,25 tấn/ha, mắm 0,95 tấn/ha.

Ứng dụng trong hoá học – cân bằng phương trình phản ứng Các hệ lập từ số nguyên tử mỗi nguyên tố hai vế thường có vô số nghiệm; người ta chọn bộ nghiệm nguyên dương nhỏ nhất.

Ví dụ 2: $x H_{2} + y O_{2} \to z H_{2} O : 2 x = 2 z, 2 y = z \Rightarrow x = z = 2 y$ ; chọn $y = 1$ : $2 H_{2} + O_{2} \to 2 H_{2} O$ .
Ví dụ 3 (quang hợp): $x$ CO₂ $+ y H_{2} O \to z C_{6} H_{12} O_{6} + t O_{2}$ cho $x = 6 z, 2 y = 12 z, 2 x + y = 6 z + 2 t$ . Đặt $X = \frac{x}{t}, Y = \frac{y}{t}, Z = \frac{z}{t}$ được hệ bậc nhất ba ẩn, giải bằng máy tính: $X = 1, Y = 1, Z = \frac{1}{6} \Rightarrow x = y = t = 6 z$ ; chọn $z = 1$ : 6CO₂ $+ 6 H_{2} O \to C_{6} H_{12} O_{6} + 6 O_{2}$ (có ánh sáng).
Luyện tập 1: cân bằng $C_{8} H_{18} + O_{2} \to$ CO₂ $+ H_{2} O$ .

Ứng dụng trong vật lí – cường độ dòng điện Ví dụ 4: mạch có

R_{1} = 25 Ω

nối tiếp với hai nhánh song song

R_{2} = 36 Ω

và

R_{3} = 45 Ω

, hiệu điện thế

U = 60

V. Các cường độ

I_{1}, I_{2}, I_{3}

thoả hệ:

I_{1} - I_{2} - I_{3} = 0; R_{1} I_{1} + R_{2} I_{2} = U; R_{2} I_{2} - R_{3} I_{3} = 0

. Giải bằng máy tính:

I_{1} = \frac{4}{3} A, I_{2} = \frac{20}{27} A, I_{3} = \frac{16}{27} A

2. Giải bài toán cân bằng cung – cầu

Hàm cung, hàm cầu, cân bằng cung – cầu Xét thị trường ba mặt hàng (thịt lợn, thịt bò, thịt gà) có giá

x, y, z

(nghìn đồng/kg,

x, y, z > 0

). Gọi

Q_{S_{i}}

là lượng hàng người bán chấp thuận bán,

Q_{D_{i}}

là lượng hàng người mua chấp thuận mua ở các mức giá đó.

Các hàm $Q_{S_{1}}, Q_{S_{2}}, Q_{S_{3}}$ phụ thuộc ba biến giá $x, y, z$ gọi là hàm cung (supply function);
Các hàm $Q_{D_{1}}, Q_{D_{2}}, Q_{D_{3}}$ gọi là hàm cầu (demand function);
Hệ phương trình $Q_{S_{1}} = Q_{D_{1}}; Q_{S_{2}} = Q_{D_{2}}; Q_{S_{3}} = Q_{D_{3}}$ gọi là hệ phương trình cân bằng cung – cầu; nghiệm cho mức giá để người bán và người mua cùng hài lòng (giá hợp lí nhất).

Ví dụ 5 Hàm cung:

Q_{S_{1}} = - 120 + 2 x, Q_{S_{2}} = - 200 + 2 y, Q_{S_{3}} = - 210 + 3 z

; hàm cầu:

Q_{D_{1}} = 190 - 3 x + y - z, Q_{D_{2}} = 440 + 2 x - y - z, Q_{D_{3}} = 260 - x - 2 y + 4 z

. Thu gọn hệ cân bằng:

5 x - y + z = 310; 2 x - 3 y - z = - 640; x + 2 y - z = 470

. Giải bằng máy tính:

x = 90, y = 240, z = 100

. Vậy giá hợp lí: thịt lợn 90, thịt bò 240, thịt gà 100 nghìn đồng/kg.
Chú ý: thực tế thị trường nhiều mặt hàng nên hệ nhiều ẩn, rất khó giải; giá cả còn phụ thuộc nhiều yếu tố ngoài quan hệ cung – cầu.

Em có biết – mô hình kinh tế Leontief Wassily Leontief (1906–1999) nhận giải Nobel Kinh tế năm 1973 với mô hình biểu thị sự phụ thuộc giữa các ngành sản xuất bằng hệ phương trình bậc nhất: nền kinh tế gồm

n

ngành, ngành

N_{j}

cần tiêu thụ

a_{ij}

đơn vị hàng hoá của ngành

N_{i}

để sản xuất một đơn vị hàng hoá; với

x_{i}

là số đơn vị cần sản xuất, sau tiêu thụ ngành

N_{i}

còn

x_{i} - a_{i 1} x_{1} - \dots - a_{in} x_{n} = b_{i}

đơn vị. Với

n = 3

đó là hệ bậc nhất ba ẩn (nhận xét của người biên soạn: phương pháp Gauss cũng áp dụng được cho hệ $n$ ẩn; sách không nêu).

Bài 29. Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

1. Giải một số bài toán vật lí, hoá học và sinh học

2. Giải bài toán cân bằng cung – cầu

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chuyên đề 1