Bài 31. Nhị thức Newton

Chương 2. Phương pháp quy nạp toán học. Nhị thức Newton

1. Tam giác Pascal

Nhận xét về khai triển

(a + b)^{n} (n = 1, \dots, 5)

Có $n + 1$ số hạng; số hạng đầu là $a^{n}$ , số hạng cuối là $b^{n}$ .
Tổng số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi số hạng đều bằng $n$ .
Từ trái sang phải, số mũ của $a$ giảm 1 đơn vị, số mũ của $b$ tăng 1 đơn vị khi chuyển từ số hạng này sang số hạng tiếp theo.

Tam giác Pascal Viết các hệ số của khai triển

(a + b)^{n}

thành bảng tam giác (hàng đầu là hàng 0; hàng

n

ứng với hệ số của

(a + b)^{n}

Hàng	Hệ số
0	1
1	1 1
2	1 2 1
3	1 3 3 1
4	1 4 6 4 1
5	1 5 10 10 5 1
6	1 6 15 20 15 6 1

Tính chất: mọi số (khác 1) đều là tổng của hai số ở ngay phía trên nó (ví dụ hàng

6 : 1 + 5 = 6; 5 + 10 = 15; 10 + 10 = 20

Ví dụ 1, 2

(a + b)^{6} = a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

(3 - 2 x)^{5}

: thay

a = 3, b = - 2 x

vào khai triển

(a + b)^{5}

được

243 - 810 x + 1080 x^{2} - 720 x^{3} + 240 x^{4} - 32 x^{5}

Tính chất của các số

C_{n}^{k}

Tính chất đối xứng: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k} (0 \leq k \leq n)$ .
Hệ thức Pascal: $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k} = C_{n}^{k} (1 \leq k \leq n)$ .

(Chứng minh bằng công thức tính tổ hợp.) Các hàng của tam giác Pascal viết được dưới dạng

C_{0}^{0}; C_{1}^{0} C_{1}^{1}; C_{2}^{0} C_{2}^{1} C_{2}^{2}; \dots

2. Công thức nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton

(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + \dots + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}

(đúng với mọi số nguyên dương

n

).
Sách chứng minh bằng quy nạp:

n = 1

đúng; giả sử đúng với

n = m

, nhân hai vế với

(a + b)

và dùng hệ thức Pascal

C_{m}^{k} + C_{m}^{k - 1} = C_{m + 1}^{k}

được công thức với

n = m + 1

.
Chú ý: số hạng thứ

(k + 1)

trong khai triển là

T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}

Ví dụ 3, 4

(a + b)^{6} = C_{6}^{0} a^{6} + C_{6}^{1} a^{5} b + \dots + C_{6}^{6} b^{6} = a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + b^{6}

(chỉ cần tính

C_{6}^{0}, \dots, C_{6}^{3}

rồi dùng tính chất đối xứng).

(3 x - 2)^{4} = 81 x^{4} - 216 x^{3} + 216 x^{2} - 96 x + 16

Hệ số của

x^{k}

trong (ax

+ b)^{n}

Số hạng chứa

x^{k}

trong khai triển

(a x + b)^{n}

là

C_{n}^{n - k} (a x)^{k} b^{n - k} = C_{n}^{n - k} a^{k} b^{n - k} x^{k}

. Do đó hệ số của $x^{k}$ là

C_{n}^{n - k} a^{k} b^{n - k}

Ví dụ 5, 6 Hệ số của

x^{4}

trong

(x + 2)^{10}

: số hạng

C_{10}^{6} x^{4} \cdot 2^{6} = 13440 x^{4}

nên hệ số là 13 440.
Tìm

n

nguyên dương thoả

C_{n}^{0} 3^{n} + C_{n}^{1} 3^{n - 1} + \dots + C_{n}^{n - 1} \cdot 3 + C_{n}^{n} = 64

: vế trái là khai triển

(x + 3)^{n}

tại

x = 1

, bằng

4^{n} = 64 = 4^{3} \Rightarrow n = 3

Vận dụng – số tập con của tập hợp có

n

phần tử Khai triển

(1 + x)^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + \dots + C_{n}^{n} x^{n}

; cho

x = 1

và dùng ý nghĩa

C_{n}^{k}

là số tập con

k

phần tử, giải thích ý nghĩa đẳng thức nhận được; làm tương tự với

x = - 1

. (Sách chỉ nêu đề; theo suy luận của người biên soạn: với $x = 1$ được tổng bằng $2^{n}$ — số tất cả các tập con; với $x = - 1$ được tổng đại số bằng 0, tức số tập con có số phần tử chẵn bằng số tập con có số phần tử lẻ.)
Em có biết: tam giác Pascal mang tên Blaise Pascal (1623–1662) nhưng đã được các nhà toán học Ấn Độ, Ba Tư, Trung Hoa, Đức, Ý nghiên cứu từ nhiều thế kỉ trước; nhị thức Newton mang tên Isaac Newton (1643–1727), người mở rộng công thức cho trường hợp

n

là số thực.

Bài 31. Nhị thức Newton

1. Tam giác Pascal

2. Công thức nhị thức Newton

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chuyên đề 2