Bài 32. Elip

Chương 3. Ba đường conic và ứng dụng

1. Hình dạng của elip

Tình huống mở đầu Mỗi hành tinh trong hệ Mặt Trời chuyển động theo quỹ đạo elip nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm. Khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ Trái Đất đến tâm Mặt Trời khoảng

152 \cdot 1 0^{6}

km và

147 \cdot 1 0^{6}

km. Liệu có lập được phương trình chính tắc của elip quỹ đạo Trái Đất?

Các yếu tố của elip

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

Hai trục đối xứng là $O x, O y$ ; tâm đối xứng là gốc toạ độ $O$ .
Các điểm $A_{1} (- a; 0), A_{2} (a; 0), B_{1} (0; - b), B_{2} (0; b)$ gọi là các đỉnh.
Các đoạn $A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}$ gọi là trục lớn, trục nhỏ; độ dài tương ứng là $2 a$ và $2 b$ .
$b \leq OM \leq a$ với $M$ thuộc elip.
Hình chữ nhật có bốn đỉnh $P (- a; b), Q (- a; - b), R (a; - b), S (a; b)$ gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip.

Ví dụ 1, 2 Elip

\frac{x ^{2}}{100} + \frac{y ^{2}}{25} = 1

: trục lớn

2 a = 2100 = 20

, trục nhỏ

2 b = 10

; các đỉnh

A_{1} (- 10; 0), A_{2} (10; 0), B_{1} (0; - 5), B_{2} (0; 5)

.
Các điểm thuộc elip và khác đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật cơ sở (vì

x_{0}^{2} \leq a^{2}, y_{0}^{2} \leq b^{2}

), còn bốn đỉnh là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật đó.

Chú ý – hình dạng theo tỉ số

\frac{b}{a}

\frac{b}{a}

càng nhỏ (gần 0) thì hình chữ nhật cơ sở càng “dẹt”, elip càng “gầy”;

\frac{b}{a}

càng lớn (gần 1) thì hình chữ nhật cơ sở gần hình vuông và elip càng “béo” (gần đường tròn).
Phép co đường tròn (Luyện tập 2): phép co về trục hoành hệ số

k (0 < k < 1)

biến đường tròn

x^{2} + y^{2} = a^{2}

thành elip

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{( ka ) ^{2}} = 1

2. Bán kính qua tiêu, tâm sai và đường chuẩn

Bán kính qua tiêu Elip

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

có tiêu điểm

F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0), c = a^{2} - b^{2}

. Với

M (x; y)

thuộc elip:

MF

₁

= a + \frac{c}{a} x, MF

₂

= a - \frac{c}{a} x

.
Các đoạn

M F_{1}, M F_{2}

gọi là bán kính qua tiêu của

M

Ví dụ 3 – khoảng cách đến tiêu điểm Vì

- a \leq x_{0} \leq a

nên

a - c \leq M F_{1} \leq a + c . M F_{1}

nhỏ nhất khi

M

trùng đỉnh

A_{1} (- a; 0)

, lớn nhất khi

M

trùng đỉnh

A_{2} (a; 0)

. Tương tự,

M F_{2}

nhỏ nhất khi

M

trùng

A_{2}

, lớn nhất khi

M

trùng

A_{1}

.
Bán kính qua tiêu lớn nhất bằng nửa tổng độ dài trục lớn và tiêu cự, nhỏ nhất bằng nửa hiệu của chúng.

Tâm sai và đường chuẩn Với elip

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (c = a^{2} - b^{2})

và các đường thẳng

Δ_{1} : x = - \frac{a ^{2}}{c}, Δ_{2} : x = \frac{a ^{2}}{c}

: khi

M

thay đổi trên elip luôn có

\frac{M F _{1}}{d ( M , Δ _{1} )} = \frac{M F _{2}}{d ( M , Δ _{2} )} = e

không đổi, trong đó:

$e = \frac{c}{a}$ gọi là tâm sai của elip;
$Δ_{1} : x = - \frac{a}{e}$ và $Δ_{2} : x = \frac{a}{e}$ gọi là các đường chuẩn tương ứng với $F_{1}$ và $F_{2}$ .

Chú ý: tâm sai của elip là số dương nhỏ hơn 1; bán kính qua tiêu còn viết

M F_{1} = a + e x, M F_{2} = a - e x

Ví dụ 4 Elip

\frac{x ^{2}}{64} + \frac{y ^{2}}{39} = 1 : a = 8, b = 39, c = 5

; tiêu điểm

F_{1} (- 5; 0), F_{2} (5; 0)

; tâm sai

e = \frac{5}{8} = 0, 625

; đường chuẩn

Δ_{1} : x = - \frac{64}{5}, Δ_{2} : x = \frac{64}{5}

Nhận xét về tâm sai Vì

e = \frac{c}{a} = 1 - (\frac{b}{a})^{2} : e

càng nhỏ (gần 0) thì

\frac{b}{a}

càng lớn, elip càng “béo” (gần đường tròn);

e

càng lớn (gần 1) thì

\frac{b}{a}

càng nhỏ, elip càng “dẹt”. Tâm sai quyết định hình dạng của elip.
Vận dụng: (1) lập phương trình chính tắc của elip quỹ đạo Trái Đất (1 đơn vị

= 1 0^{6}

km); (2) Mặt Trăng chuyển động theo elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm, khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất là 400 000 km và 363 000 km — tìm tâm sai. (Sách chỉ nêu đề; người biên soạn tính: $(1) a + c = 152, a - c = 147 \Rightarrow a = 149, 5, c = 2, 5, b^{2} = 22344$ nên $\frac{x ^{2}}{22 350 , 25} + \frac{y ^{2}}{22 344} = 1; (2) a + c = 400, a - c = 363 \Rightarrow e = \frac{18 , 5}{381 , 5} \approx 0, 0485$ .)

Em có biết – phòng thì thầm, tâm sai các hành tinh, định luật Kepler

Phòng thì thầm (whispering gallery) có mái vòm elip: hai người đứng ở hai tiêu điểm có thể nói chuyện thì thầm với nhau dù cách xa (ví dụ khoảng 13 m ở Bảo tàng Khoa học và Công nghiệp Chicago), vì âm thanh phản xạ rồi hội tụ về tiêu điểm kia.
Tâm sai quỹ đạo các hành tinh (rất nhỏ nên quỹ đạo gần đường tròn): Kim tinh $\approx 0, 007$ ; Trái Đất $\approx 0, 017$ ; Hải Vương tinh $\approx 0, 011$ ; Thiên Vương tinh $\approx 0, 046$ ; Mộc tinh $\approx 0, 049$ ; Thổ tinh $\approx 0, 055$ ; Hoả tinh $\approx 0, 094$ ; Thuỷ tinh $\approx 0, 205$ .
Kepler: bán kính qua tiêu của hành tinh (tiêu điểm tại Mặt Trời) quét những hình có diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau; bình phương chu kì quỹ đạo tỉ lệ với lập phương nửa độ dài trục lớn. Newton chỉ ra ba định luật Kepler suy ra từ các định luật chuyển động và định luật vạn vật hấp dẫn.

Bài 32. Elip

1. Hình dạng của elip

2. Bán kính qua tiêu, tâm sai và đường chuẩn

Sơ đồ tư duy