Bài 33. Hypebol

Chương 3. Ba đường conic và ứng dụng

1. Hình dạng của hypebol

Tình huống mở đầu Sao chổi Borisov (2I/Borisov) chuyển động theo quỹ đạo hypebol với tâm sai khoảng 3,3567, chỉ đi vào hệ Mặt Trời một lần rồi không quay lại. Chỉ với tâm sai, máy tính đã vẽ được hình thu nhỏ của hypebol quỹ đạo — vậy tâm sai của hypebol là gì?

Các yếu tố của hypebol

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

Hai trục đối xứng là $O x, O y$ ; tâm đối xứng là gốc $O$ .
Trục $O x$ (chứa hai tiêu điểm) cắt hypebol tại $A_{1} (- a; 0), A_{2} (a; 0)$ : gọi là trục thực; hai điểm này là hai đỉnh.
Trục $O y$ không cắt hypebol: gọi là trục ảo. $2 a, 2 b$ là độ dài trục thực, trục ảo.
Một nhánh gồm các điểm có hoành độ $x \geq a$ (chứa $A_{2}$ ), nhánh kia gồm các điểm có $x \leq - a$ (chứa $A_{1}$ ).
Hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh $(- a; b), (- a; - b), (a; - b), (a; b)$ .
Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở là hai đường tiệm cận: $y = - \frac{b}{a} x$ và $y = \frac{b}{a} x$ .

Chú ý: nhánh chứa

A_{2}

gồm các điểm

M

thoả

M F_{1} - M F_{2} = 2 a

; nhánh chứa

A_{1}

thoả

M F_{2} - M F_{1} = 2 a

(với

c = a^{2} + b^{2}

). Hai đường tiệm cận không cắt hypebol; điểm trên hypebol càng xa gốc thì khoảng cách tới một tiệm cận càng gần 0 (vì vậy gọi là “tiệm cận”).

Ví dụ 1 Hypebol

\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1 : a = 3, b = 4

; trục thực

2 a = 6

, trục ảo

2 b = 8

; hai đỉnh

A_{1} (- 3; 0), A_{2} (3; 0)

; tiệm cận

y = \pm \frac{4}{3} x

2. Bán kính qua tiêu, tâm sai và đường chuẩn

Bán kính qua tiêu Hypebol

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

với tiêu điểm

F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0), c = a^{2} + b^{2}

. Với

M (x; y)

thuộc hypebol:

MF

₁

= ∣ a + \frac{c}{a} x ∣, MF

₂

= ∣ a - \frac{c}{a} x ∣

Nhánh chứa $A_{2} (x \geq a) : M F_{1} = a + \frac{c}{a} x, M F_{2} = - a + \frac{c}{a} x$ .
Nhánh chứa $A_{1} (x \leq - a) : M F_{1} = - (a + \frac{c}{a} x), M F_{2} = a - \frac{c}{a} x$ .

Hiệu hai bán kính qua tiêu (giá trị tuyệt đối) bằng độ dài trục thực

2 a

Ví dụ 2, 3 Hypebol

\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{21} = 1 : a = 2, c = 5

; điểm có hoành độ −10 thì

M F_{1} = ∣2 + \frac{5}{2} \cdot (- 10) ∣ = 23, M F_{2} = ∣2 - \frac{5}{2} \cdot (- 10) ∣ = 27

.
Khoảng cách tới tiêu điểm nhỏ nhất:

M F_{2} \geq c - a

, dấu bằng khi

M

trùng đỉnh

A_{2}

; tương tự

M F_{1}

nhỏ nhất bằng

c - a

khi

M

trùng

A_{1}

. Bán kính qua tiêu nhỏ nhất bằng nửa hiệu của tiêu cự và trục thực.

Tâm sai và đường chuẩn Khi

M (x; y)

thay đổi trên hypebol:

\frac{M F _{1}}{d ( M , Δ _{1} )} = \frac{M F _{2}}{d ( M , Δ _{2} )} = e

không đổi, trong đó

e = \frac{c}{a}

là tâm sai (lớn hơn 1);

Δ_{1} : x = - \frac{a}{e}, Δ_{2} : x = \frac{a}{e}

là các đường chuẩn ứng với

F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)

. Bán kính qua tiêu còn viết

M F_{1} = ∣ a + e x ∣, M F_{2} = ∣ a - e x ∣

Ví dụ 4, 5, 6 Hypebol

\frac{x ^{2}}{64} - \frac{y ^{2}}{17} = 1 : a = 8, c = 9, e = \frac{9}{8}

, đường chuẩn

x = \pm \frac{64}{9}

.
Hypebol chính tắc qua

A (4; 0)

có

e = 3 : a = 4, c = 3 a = 12, b^{2} = 144 - 16 = 128 \Rightarrow \frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{128} = 1

.
Mọi hypebol có cùng tâm sai 3,3567 đều đồng dạng với hypebol quỹ đạo sao chổi Borisov: nếu

\frac{c}{a} = \frac{c ^{'}}{a ^{'}} = 3, 3567

thì với

k = \frac{a ^{'}}{a} = \frac{c ^{'}}{c}

, hình vẽ là bản thu nhỏ tỉ lệ

1 : k

. Vậy tâm sai quyết định hình dạng của hypebol (cũng như của elip).
Vận dụng: sao chổi có quỹ đạo là một nhánh hypebol nhận tâm Mặt Trời làm một tiêu điểm, khoảng cách gần nhất

3 \cdot 1 0^{8}

km, tâm sai 3,6 — lập phương trình chính tắc (1 đơn vị

= 1 0^{8}

km). (Người biên soạn tính: $c - a = 3, c = 3, 6 a \Rightarrow a = \frac{3}{2 , 6} \approx 1, 154; b^{2} = c^{2} - a^{2}$ gần 17,3; sách không in đáp số.)

Ví dụ về định vị tàu thuỷ (Bài tập 3.12 trong sách) Bốn trạm phát tín hiệu thẳng hàng cách đều 200 km; tàu nhận tín hiệu từ trạm

C

trước 0,0005 s so với

B

và từ

D

trước 0,001 s so với

A

(vận tốc 292 000 km/s): hiệu khoảng cách tới hai trạm bằng vận tốc nhân hiệu thời gian

\Rightarrow

tàu nằm trên một nhánh hypebol nhận hai trạm làm tiêu điểm; giao hai nhánh cho vị trí tàu.

Bài 33. Hypebol

1. Hình dạng của hypebol

2. Bán kính qua tiêu, tâm sai và đường chuẩn

Sơ đồ tư duy