Bài 34. Parabol

Chương 3. Ba đường conic và ứng dụng

1. Hình dạng của parabol

Tình huống mở đầu Bác Vinh tham quan một công trình có cổng hình parabol với phương trình chính tắc

y^{2} = 48 x

(đơn vị mét), cổng rộng 192 m. Bác dự định làm mô hình thu nhỏ tỉ lệ 1 : 100. Hãy lập phương trình chính tắc của parabol ứng với mô hình, theo đơn vị mét.

Các yếu tố của parabol

y^{2} = 2 p x (p > 0)

Có một trục đối xứng là $O x$ (đi qua tiêu điểm và vuông góc với đường chuẩn).
Giao điểm $O (0; 0)$ của parabol và trục đối xứng gọi là đỉnh.
Tham số tiêu $p$ gấp đôi khoảng cách giữa đỉnh $O$ và tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ .
Các điểm thuộc parabol đều có hoành độ không âm.

Ví dụ 1 Parabol chính tắc có khoảng cách từ đỉnh tới tiêu điểm bằng

3 : \frac{p}{2} = 3 \Rightarrow p = 6 \Rightarrow y^{2} = 12 x

2. Bán kính qua tiêu, tâm sai và đường chuẩn

Bán kính qua tiêu và tâm sai Parabol

y^{2} = 2 p x

có tiêu điểm

F (\frac{p}{2}; 0)

, đường chuẩn

Δ : x = - \frac{p}{2}

Với $M (x; y)$ thuộc parabol, đoạn $MF$ là bán kính qua tiêu, có độ dài $MF = x + \frac{p}{2}$ .
Với mọi $M$ thuộc parabol, tỉ số $\frac{MF}{d ( M , Δ )}$ luôn bằng 1: parabol có tâm sai bằng 1.

Ví dụ 2, 3

y^{2} = 4 x : 2 p = 4 \Rightarrow p = 2

; tiêu điểm

F (1; 0)

, đường chuẩn

x = - 1

; điểm có hoành độ 3 thì

MF = 3 + 1 = 4

.
Trong các điểm thuộc parabol, đỉnh có khoảng cách tới tiêu điểm nhỏ nhất, bằng

\frac{p}{2}

(nửa tham số tiêu), vì

MF = x_{0} + \frac{p}{2} \geq \frac{p}{2}

(dấu bằng khi

x_{0} = 0

Vận dụng – giải bài toán mở đầu (cổng parabol; do người biên soạn tính)

y^{2} = 48 x

, rộng 192 m nên

y = \pm 96 : x = \frac{9 6 ^{2}}{48} = 192

, nên cổng cao 192 m. Mô hình tỉ lệ 1 : 100 cao 1,92 m, rộng 1,92 m; qua điểm

(1, 92; 0, 96)

nên

2 p^{'} = \frac{0 , 9 6 ^{2}}{1 , 92} = 0, 48

, phương trình

y^{2} = 0, 48 x

; tiêu điểm cách đỉnh 0,12 m. (Sách chỉ nêu các câu hỏi a)–d), không in đáp số.)
Luyện tập 3 (sao chổi): sao chổi chuyển động theo quỹ đạo parabol nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm, khoảng cách ngắn nhất

1 0^{6}

km — lập phương trình chính tắc theo km:

\frac{p}{2} = 1 0^{6} \Rightarrow y^{2} = 4 \cdot 1 0^{6} x

; khoảng cách khi ở trên đường vuông góc với trục tại tâm Mặt Trời bằng

x + \frac{p}{2}

với

x = \frac{p}{2}

tức bằng

p = 2 \cdot 1 0^{6}

km. (Người biên soạn tính.)

Bài 34. Parabol

1. Hình dạng của parabol

2. Bán kính qua tiêu, tâm sai và đường chuẩn

Sơ đồ tư duy