Bài 12. Số gần đúng và sai số

Chương V. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

1. Số gần đúng

Số đúng và số gần đúng Trong nhiều trường hợp ta không biết hoặc khó biết số đúng (kí hiệu

\overline{a}

) mà chỉ tìm được một giá trị khác xấp xỉ nó. Giá trị này gọi là số gần đúng, kí hiệu

a

.
Chẳng hạn các số đo chiều cao đỉnh Everest (8 848 m; 8 848,13 m; 8 844,43 m; 8 850 m; 8 848,86 m…) đều là số gần đúng.

Ví dụ 1

d

là độ dài đường chéo hình vuông cạnh

1 : d = 2

là số đúng; 1,41 là số gần đúng của

d

Dùng máy tính cầm tay Có thể dùng máy tính cầm tay để tìm giá trị gần đúng của các biểu thức chứa số vô tỉ như

π, a, 3 a \dots

Chẳng hạn

2^{9} \cdot 3 \approx 886, 810

(ba chữ số thập phân).

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

a. Sai số tuyệt đối Giá trị

Δ_{a} = ∣ a - \overline{a} ∣

phản ánh mức độ sai lệch giữa số đúng

\overline{a}

và số gần đúng

a

, gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng

a

Độ chính xác

Thực tế thường không biết $\overline{a}$ nên không biết $Δ_{a}$ ; ta chỉ đánh giá được $Δ_{a}$ không vượt quá một số dương $d$ nào đó.
Nếu $Δ_{a} \leq d$ thì $a - d \leq \overline{a} \leq a + d$ , viết $\overline{a} = a \pm d$ ; số đúng nằm trong đoạn $[a - d; a + d] . d$ càng nhỏ thì $a$ càng gần số đúng nên $d$ gọi là độ chính xác của số gần đúng.

Chú ý: trong các phép đo, độ chính xác

d

bằng một nửa đơn vị của thước đo; thước có thang đo càng nhỏ thì cho giá trị đo càng chính xác.

Ví dụ 2 Bao gạo ghi khối lượng

5 \pm 0, 2

kg: khối lượng thực

\overline{a}

là số đúng, 5 là số gần đúng, độ chính xác

d = 0, 2

kg;

\overline{a} \in [4, 8; 5, 2]

b. Sai số tương đối Sai số tương đối của số gần đúng

a

, kí hiệu

δ_{a}

, là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và

∣ a ∣ : δ_{a} = \frac{Δ _{a}}{∣ a ∣}

.
Nhận xét: nếu

\overline{a} = a \pm d

thì

Δ_{a} \leq d

, do đó

δ_{a} \leq \frac{d}{∣ a ∣}

. Tỉ số

\frac{d}{∣ a ∣}

càng nhỏ thì chất lượng phép đo hay tính toán càng cao; thường viết dưới dạng phần trăm. Dùng sai số tương đối (không dùng sai số tuyệt đối) để so sánh độ chính xác khi các đại lượng có độ lớn khác nhau.

Ví dụ 3 Dân số

3574625 \pm 50000

người:

δ_{a} \leq \frac{50 000}{3 574 625} \approx 1, 4%

3. Quy tròn số gần đúng

Số quy tròn Số thu được sau khi thực hiện làm tròn gọi là số quy tròn; nó là một số gần đúng của số ban đầu.

Quy tắc làm tròn

Chữ số hàng làm tròn: giữ nguyên nếu chữ số ngay bên phải nó nhỏ hơn 5; tăng 1 đơn vị nếu chữ số ngay bên phải lớn hơn hoặc bằng 5.
Các chữ số sau hàng làm tròn: bỏ đi nếu ở phần thập phân; thay bằng các chữ số 0 nếu ở phần số nguyên.

Nhận xét

Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng làm tròn.
Cho số gần đúng $a$ với độ chính xác $d$ . Khi được yêu cầu làm tròn $a$ mà không nói rõ làm tròn đến hàng nào, ta làm tròn $a$ đến hàng thấp nhất mà $d$ nhỏ hơn 1 đơn vị của hàng đó.

Ví dụ 4, 5 2 359,3 làm tròn đến hàng chục là 2 360; 18,693 làm tròn đến hàng phần trăm là

18, 69. a = 2, 53

với

d = 0, 01 : \overline{a} \in [2, 52; 2, 54]

, nên làm tròn đến hàng phần chục.

a = 581268, d = 200

: làm tròn đến hàng nghìn, số quy tròn là 581 000.

Vận dụng (so sánh hai kết quả đo tuổi vũ trụ)

13, 807 \pm 0, 026

và

13, 799 \pm 0, 021

(tỉ năm): đánh giá sai số tương đối của mỗi phương pháp rồi so sánh; phương pháp có tỉ số

\frac{d}{∣ a ∣}

nhỏ hơn thì chính xác hơn.

Bài 12. Số gần đúng và sai số

1. Số gần đúng

2. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

3. Quy tròn số gần đúng

Sơ đồ tư duy