Bài 13. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Chương V. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

1. Số trung bình và trung vị

a. Số trung bình Số trung bình (trung bình cộng) của mẫu số liệu

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

, kí hiệu

\overline{x}

\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

.
Chú ý: với bảng tần số:

\overline{x} = \frac{m _{1} x _{1} + m _{2} x _{2} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}

, trong đó

m_{k}

là tần số của giá trị

x_{k}

và

n = m_{1} + \dots + m_{k}

.
Ý nghĩa: cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu, dùng để đại diện cho mẫu.

Ví dụ 1 Số sách đọc: 1, 2, 3, 4, 5 cuốn với số bạn

3, 5, 15, 10, 7 (n = 40) : \overline{x} = \frac{3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 15 \cdot 3 + 10 \cdot 4 + 7 \cdot 5}{40} = \frac{133}{40} = 3, 325

cuốn.

b. Trung vị Số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số). Khi đó dùng trung vị (kí hiệu

M_{e}

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
Nếu số giá trị là lẻ: trung vị là giá trị chính giữa; nếu chẵn: trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa.

Ví dụ 2 Giám đốc lương 20 triệu, năm nhân viên mỗi người 4 triệu: dãy 4 4 4 4 4 20 có hai giá trị chính giữa đều bằng 4 nên trung vị là 4 (trong khi số trung bình lớn hơn nhiều). Dù lương giám đốc thành 30; 40; 50… triệu, trung vị vẫn không đổi.
Ý nghĩa: trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường, nên khi mẫu có giá trị bất thường người ta thường dùng trung vị để đại diện.

2. Tứ phân vị

Cách tìm các tứ phân vị của mẫu có

n

giá trị

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
Tìm trung vị – đó là $Q_{2}$ .
$Q_{1}$ là trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu $n$ lẻ).
$Q_{3}$ là trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu $n$ lẻ).

Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}

gọi là các tứ phân vị;

Q_{1}

là tứ phân vị thứ nhất (dưới),

Q_{3}

là tứ phân vị thứ ba (trên).
Ý nghĩa: ba điểm này chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần, mỗi phần chứa 25% số giá trị.

Ví dụ 3 (hàm lượng natri trong ngũ cốc) 20 giá trị đã sắp xếp:

05070100130140140150160180 ∣ 180180190200200210210220290 340. Q_{2} = (180 + 180) : 2 = 180; Q_{1} = (130 + 140) : 2 = 135; Q_{3} = (200 + 210) : 2 = 205

. Khoảng cách từ

Q_{1}

đến

Q_{2}

là 45, từ

Q_{2}

đến

Q_{3}

là 25: số liệu tập trung mật độ cao ở bên phải

Q_{2}

và mật độ thấp ở bên trái.

3. Mốt

Mốt Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất. Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm khi mẫu có nhiều giá trị trùng nhau.

Nhận xét

Mốt có thể không duy nhất (ví dụ mẫu 8 7 10 9 7 5 7 8 8 có hai mốt là 7 và 8).
Khi mọi giá trị có cùng tần số thì mẫu số liệu không có mốt.
Mốt còn được định nghĩa cho mẫu dữ liệu định tính (ví dụ lựa chọn “huấn luyện viên ngoại” nhiều bình chọn nhất).

Ví dụ 4 Thời gian truy cập Internet: 0 0 1 1 1 3 4 4 5 6 (giờ): giá trị 1 xuất hiện 3 lần, lớn nhất nên mốt là 1.

Vận dụng – so sánh hai lớp

A, B

(đầu bài; do người biên soạn tính) Điểm khảo sát của mỗi lớp 25 học sinh. Lớp

A

: số trung bình 5,92; trung vị 6; mốt 7. Lớp

B

: số trung bình 6,28; trung vị 6; mốt 7. Theo số trung bình, phương pháp học của lớp B có vẻ hiệu quả hơn. (Các số này sách không in sẵn.)

Mô phỏng tương tác: các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Nhập hoặc chọn mẫu số liệu trong SGK, kéo các chấm trên biểu đồ chấm để quan sát số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt thay đổi thế nào.

Mô phỏngSố trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt

Mở ở trang riêng ↗

Bài 13. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

1. Số trung bình và trung vị

2. Tứ phân vị

3. Mốt

Mô phỏng tương tác: các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Sơ đồ tư duy