Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ

Chương IV. Vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Định nghĩa Cho hai vectơ

u, v

khác

0

. Từ điểm

A

tuỳ ý vẽ

A B = u, A C = v

. Số đo góc

B A C

gọi là số đo góc giữa hai vectơ

u

và

v

(hay góc giữa hai vectơ), kí hiệu

(u, v)

Chú ý

Quy ước: góc giữa $u$ và $0$ có thể nhận giá trị tuỳ ý từ 0° đến 180°.
Nếu $(u, v) = 90°$ thì $u$ và $v$ vuông góc, kí hiệu $u ⊥ v$ .
Góc bằng 0° khi hai vectơ cùng hướng; bằng 180° khi hai vectơ ngược hướng.

Ví dụ 1 Tam giác

A BC

vuông tại

A, B = 30° : (A B, A C) = 90°; (C A, CB) = 60°; (A B, BC) = 150°

(vẽ

B D = A B

thì góc

D BC = 150°

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Gợi mở từ Vật lí Lực không đổi

F

tác động lên vật làm điểm đặt chuyển động thẳng từ

M

tới

N

thì công

A = ∣ F ∣ \cdot ∣ MN ∣ \cdot cos (F, MN)

. Toán học gọi giá trị này (không kể đơn vị) là tích vô hướng của

F

và

MN

Định nghĩa Tích vô hướng của hai vectơ

u

và

v

là một số, kí hiệu

u \cdot v

, xác định bởi:

u \cdot v = ∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣ \cdot cos (u, v)

Chú ý

$u ⊥ v \Leftrightarrow u \cdot v = 0$ .
$u \cdot u$ viết là $u^{2}$ và gọi là bình phương vô hướng: $u^{2} = ∣ u ∣^{2}$ .
Với vectơ khác $0$ : tích vô hướng dương khi góc nhọn, âm khi góc tù.

Ví dụ 2 Hình vuông

A BC D

cạnh

a

(đường chéo

a 2) : A B \cdot A D = 0; A B \cdot A C = a \cdot a 2 \cdot cos 45° = a^{2}; A B \cdot B D = a \cdot a 2 \cdot cos 135° = - a^{2}

3. Biểu thức toạ độ và tính chất của tích vô hướng

Công thức toạ độ Với

u = (x; y)

và

v = (x^{'}; y^{'}) : u \cdot v = x x^{'} + y y^{'}

$u ⊥ v \Leftrightarrow x x^{'} + y y^{'} = 0$ .
$u^{2} = x^{2} + y^{2}$ .
Nếu $u, v \neq = 0 : cos (u, v) = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣} = \frac{x x ^{'} + y y ^{'}}{x ^{2} + y ^{2} \cdot x ^{' 2} + y ^{' 2}}$ .

Ví dụ 3:

u = (2; - 3), v = (5; 3) : u \cdot v = 10 - 9 = 1; i \cdot j = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0

Tính chất Với ba vectơ

u, v, w

bất kì và mọi số

k

$u \cdot v = v \cdot u$ (giao hoán);
$u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$ (phân phối đối với phép cộng);
$(k u) \cdot v = k (u \cdot v) = u \cdot (k v)$ .

Hệ quả:

u \cdot (v - w) = u \cdot v - u \cdot w; (u + v)^{2} = u^{2} + 2 u \cdot v + v^{2}; (u - v)^{2} = u^{2} - 2 u \cdot v + v^{2}; (u + v) \cdot (u - v) = u^{2} - v^{2}

Ví dụ 4 Tam giác

A BC

vuông tại

A, B = 60°, M

là trung điểm

BC, P \in A B, Q \in A C

. Chứng minh góc

PMQ = 90° \Leftrightarrow BP + 3 \cdot CQ = BC

.
Đặt

MB = MC = a

. Góc

PMQ = 90° \Leftrightarrow MP \cdot MQ = 0 \Leftrightarrow (MB + BP) \cdot (MC + CQ) = 0

. Khai triển với

MB \cdot MC = - a^{2}, MB \cdot CQ = \frac{3}{2} a \cdot CQ, BP \cdot MC = \frac{1}{2} a \cdot BP, BP \cdot CQ = 0

, ta được

- a^{2} + \frac{3}{2} a \cdot CQ + \frac{1}{2} a \cdot BP = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot CQ + BP = 2 a = BC

Vận dụng – công của lực thành phần Lực

F = F_{1} + F_{2}

làm vật chuyển động thẳng từ

A

đến

B

. Theo tính chất phân phối:

F \cdot A B = F_{1} \cdot A B + F_{2} \cdot A B

, nên công sinh bởi

F

bằng tổng công sinh bởi

F_{1}

và

F_{2}

. Nếu

F_{1}

cùng phương,

F_{2}

vuông góc phương chuyển động thì

F_{2} \cdot A B = 0

, công của

F

bằng công của

F_{1}

Mô phỏng tương tác: tích vô hướng của hai vectơ

Kéo đầu mút hai vectơ để quan sát góc giữa hai vectơ, so sánh hai cách tính tích vô hướng và điều kiện vuông góc.

Mô phỏngGóc giữa hai vectơ, tích vô hướng, công của lực

Mở ở trang riêng ↗

Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

2. Tích vô hướng của hai vectơ

3. Biểu thức toạ độ và tính chất của tích vô hướng

Mô phỏng tương tác: tích vô hướng của hai vectơ

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chương IV