Bài 22. Ba đường conic

Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

1. Elip

Định nghĩa Cho hai điểm cố định phân biệt

F_{1}, F_{2}

, đặt

F_{1} F_{2} = 2 c > 0

. Cho số thực

a

lớn hơn

c

. Tập hợp các điểm

M

sao cho

MF

₁

+ MF

₂

= 2 a

gọi là đường elip (hay elip). Hai điểm

F_{1}, F_{2}

gọi là hai tiêu điểm và

F_{1} F_{2} = 2 c

gọi là tiêu cự của elip.
(Điều kiện

a > c

cần để tập hợp điểm khác rỗng và không suy biến.)

Ví dụ 1 và hình ảnh thực tế Lục giác đều

A BC D EF

: các tam giác

A BC, BC D, D EF, EF A

bằng nhau nên

A C = B D = D F = A E

; từ đó

B A + B D = C A + C D = E A + E D = F A + F D > A D

: bốn điểm

B, C, E, F

cùng thuộc một elip có hai tiêu điểm

A, D

.
Cách vẽ elip: đính hai đầu sợi dây không đàn hồi vào hai điểm

F_{1}, F_{2}

cố định, kéo căng dây bằng đầu bút và di chuyển; tổng khoảng cách từ bút tới

F_{1}, F_{2}

không đổi (bằng chiều dài dây).

Phương trình chính tắc của elip Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho

O

là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm thì có phương trình:

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

, với

a > b > 0 (b = a^{2} - c^{2})

.
Ngược lại mỗi phương trình dạng trên đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm

F_{1} (- a^{2} - b^{2}; 0), F_{2} (a^{2} - b^{2}; 0)

, tiêu cự

2 c = 2 a^{2} - b^{2}

và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip tới hai tiêu điểm bằng

2 a

Ví dụ 2, Vận dụng 1 Elip

\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1 : a^{2} = 25, b^{2} = 16 \Rightarrow c = 3

; tiêu điểm

F_{1} (- 3; 0), F_{2} (3; 0)

, tiêu cự 6; tổng khoảng cách tới hai tiêu điểm

2 a = 10

.
Ô thoáng có vòm là nửa elip

\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{4} = 1 (1

đơn vị

= 30

cm), cần tính chiều cao

h

tại điểm cách chính giữa 75 cm. (Người biên soạn tính: 75 cm $= 2, 5$ đơn vị nên $y^{2} = 4 (1 - \frac{6 , 25}{16}) = \frac{39}{16}, y = \frac{39}{4} \approx 1, 56$ đơn vị, $h \approx 46, 8$ cm; sách chỉ nêu đề.)

2. Hypebol

Định nghĩa Cho hai điểm phân biệt cố định

F_{1}, F_{2}

, đặt

F_{1} F_{2} = 2 c

. Cho số thực dương

a

nhỏ hơn

c

. Tập hợp các điểm

M

sao cho

∣ MF

₁

- MF

₂

∣ = 2 a

gọi là đường hypebol (hay hypebol).

F_{1}, F_{2}

là hai tiêu điểm và

2 c

là tiêu cự.
Chú ý: hypebol có hai nhánh: một nhánh gồm những điểm thoả

M F_{1} - M F_{2} = 2 a

, nhánh kia thoả

M F_{1} - M F_{2} = - 2 a

Tình huống và Ví dụ 3 Hai thiết bị tại

F_{1}, F_{2}

nhận tín hiệu âm thanh lệch nhau 2 giây (vận tốc 343 m/s)

\Rightarrow M F_{1} - M F_{2} = 686

m: nơi phát tín hiệu nằm trên một nhánh hypebol.
Ví dụ 3 (ranh giới giữa hai đảo tròn): tâm

O_{1}, O_{2}

, bán kính

R_{1}, R_{2}

(hai đảo ngoài nhau).

M

cách đều hai đảo

\Leftrightarrow M O_{1} - R_{1} = M O_{2} - R_{2} \Leftrightarrow M O_{1} - M O_{2} = R_{1} - R_{2}

. Vậy đường ranh giới thuộc một nhánh hypebol với tiêu điểm

O_{1}, O_{2}, 2 c = O_{1} O_{2}, 2 a = ∣ R_{1} - R_{2} ∣

Phương trình chính tắc của hypebol Hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho

O

là trung điểm đoạn nối hai tiêu điểm có phương trình:

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

, với

a, b > 0 (b = c^{2} - a^{2})

.
Ngược lại, mỗi phương trình dạng trên là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm

F_{1} (- a^{2} + b^{2}; 0), F_{2} (a^{2} + b^{2}; 0)

, tiêu cự

2 c = 2 a^{2} + b^{2}

và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol tới hai tiêu điểm bằng

2 a

Ví dụ 4 Hypebol

\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1 : c = 9 + 16 = 5

; tiêu điểm

F_{1} (- 5; 0), F_{2} (5; 0)

, tiêu cự 10; hiệu hai khoảng cách (giá trị tuyệt đối) bằng

2 a = 6

3. Parabol

Định nghĩa Cho một điểm

F

cố định và một đường thẳng

Δ

cố định không đi qua

F

. Tập hợp các điểm

M

cách đều $F$ và $Δ$ gọi là đường parabol (hay parabol). Điểm

F

là tiêu điểm,

Δ

là đường chuẩn, khoảng cách từ

F

đến

Δ

là tham số tiêu

p

.
(Ví dụ: parabol

y = \frac{1}{4} x^{2}

có tiêu điểm

F (0; 1)

và đường chuẩn

Δ : y + 1 = 0

Phương trình chính tắc của parabol Chọn hệ

O x y

có

O

là trung điểm của

H F (H

là hình chiếu của

F

trên

Δ

), tia

O x

trùng tia

OF

: parabol có phương trình

y^{2} = 2 p x

(với

p > 0

),
có tiêu điểm

F (\frac{p}{2}; 0)

và đường chuẩn

Δ : x = - \frac{p}{2}

. Ngược lại, mỗi phương trình dạng trên là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm và đường chuẩn như vậy.

Ví dụ 5

(P) : y^{2} = x : 2 p = 1

nên

p = \frac{1}{2}

; tiêu điểm

F (\frac{1}{4}; 0)

, đường chuẩn

x = - \frac{1}{4}

. Điểm

M

thuộc

(P)

có

MF = 3 \Leftrightarrow d (M, Δ) = x_{0} + \frac{1}{4} = 3 \Rightarrow x_{0} = \frac{11}{4}, y_{0} = \pm \frac{11}{2}

: hai điểm

(\frac{11}{4}; \frac{11}{2})

và

(\frac{11}{4}; - \frac{11}{2})

.
Vận dụng 2: đường ranh giới cách đều đất liền (bờ là đường thẳng) và đảo tròn có hình gì? (Sách chỉ nêu câu hỏi; lập luận của người biên soạn: $M$ cách đều bờ và đảo nghĩa là $M H = M A = MO - R$ , tức $MO = M H + R =$ khoảng cách từ $M$ tới đường thẳng song song với bờ và dịch ra phía đất liền thêm $R$ . Vậy $M$ cách đều điểm $O$ và một đường thẳng cố định, nên ranh giới là một phần của parabol tiêu điểm $O$ .)

4. Một số ứng dụng của ba đường conic

Tính chất quang học

Tia sáng phát ra từ một tiêu điểm của elip, hypebol (gương lõm elip, hypebol) sau khi gặp đường đó sẽ bị hắt lại theo tia nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại.
Tia sáng hướng tới một tiêu điểm của elip, hypebol (gương elip, hypebol lồi) khi gặp đường đó sẽ bị hắt lại theo một tia nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại.
Gương parabol lõm: tia sáng phát ra từ tiêu điểm, khi gặp parabol, bị hắt lại theo tia vuông góc với đường chuẩn; ngược lại tia tới vuông góc với đường chuẩn thì tia phản xạ đi qua tiêu điểm.

Ứng dụng Tia nước đài phun, đường đi quả bóng là parabol; mặt nước trong cốc nghiêng và bóng của quả bóng là elip; ánh sáng đèn Led trên tường tạo các nhánh hypebol; kính thiên văn dùng gương parabol và hypebol; ăng-ten vệ tinh và đèn pha đáy parabol; máy tán sỏi thận dùng gương elip (tia laser phát từ một tiêu điểm hội tụ tại tiêu điểm kia, nơi có sỏi); tháp giải nhiệt hình hypebol. Định luật Kepler: các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo elip nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm.
Vận dụng 3: gương elip

\frac{x ^{2}}{400} + \frac{y ^{2}}{76} = 1

(cm):

c = 400 - 76 = 18

nên hai tiêu điểm cách nhau 36 cm; đầu phát sóng đặt ở một tiêu điểm, sỏi ở tiêu điểm kia, khoảng cách cần tính là 36 cm. (Người biên soạn tính.)
Em có biết: hệ định vị LORAN dùng hiệu thời gian nhận tín hiệu từ hai trạm để xác định vị trí tàu thuỷ trên một nhánh hypebol; thêm trạm thứ ba cho nhánh hypebol thứ hai, vị trí tàu là giao điểm của hai nhánh. Bài toán Apollonius (đường tròn tiếp xúc ba đường tròn cho trước) có liên hệ với các đường conic.

Mô phỏng tương tác: ba đường conic

Cho điểm M chạy trên elip, hypebol, parabol để kiểm chứng định nghĩa và phương trình chính tắc của mỗi đường.

Mô phỏngElip, hypebol, parabol

Mở ở trang riêng ↗

Bài 22. Ba đường conic

1. Elip

2. Hypebol

3. Parabol

4. Một số ứng dụng của ba đường conic

Mô phỏng tương tác: ba đường conic

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chương VII