Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

1. Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn Đường tròn

(C)

tâm

I (a; b)

, bán kính

R

là tập hợp các điểm

M

thoả

I M = R

. Do đó

M (x; y)

thuộc

(C)

khi và chỉ khi:

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

.
Phương trình này gọi là phương trình của đường tròn

(C)

Ví dụ 1

(C) : (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16

có tâm

I (2; - 3)

, bán kính

R = 4

. Đường tròn

(C^{'})

tâm

J (2; - 1)

, bán kính gấp đôi

(R^{'} = 8)

có phương trình

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 64

Dạng khai triển Phương trình

(C)

tương đương

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + (a^{2} + b^{2} - R^{2}) = 0

.
Ngược lại, xét phương trình

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0

(đặt IM²

= a^{2} + b^{2} - c

$a^{2} + b^{2} - c > 0$ : là phương trình đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ ;
$a^{2} + b^{2} - c = 0$ : tập hợp chỉ gồm một điểm $I (a; b)$ ;
$a^{2} + b^{2} - c < 0$ : tập hợp rỗng.

Nhận xét: đó là phương trình đường tròn khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} - c > 0$ .

Ví dụ 3 – đường tròn qua ba điểm Đường tròn qua

A (2; 0), B (0; 4), C (- 7; 3)

: trung điểm

A B

là

M (1; 2)

, trung trực

Δ_{1}

có vectơ pháp tuyến

A B (- 2; 4) ∥ (1; - 2) : x - 2 y + 3 = 0

. Trung điểm

A C

là

N (- \frac{5}{2}; \frac{3}{2})

, trung trực

Δ_{2}

có vectơ pháp tuyến

A C (- 9; 3) ∥ (3; - 1) : 3 x - y + 9 = 0

. Tâm

I

là giao của

Δ_{1}, Δ_{2} : I (- 3; 0)

, bán kính

I A = 5

. Vậy

(C) : (x + 3)^{2} + y^{2} = 25

.
Cách làm: tâm cách đều ba điểm nên là giao hai đường trung trực.

Vận dụng 1 – thiết kế bể sục (hồ bơi) Hai bể nửa hình tròn bằng nhau (bán kính

y

) và một bể tròn (bán kính

x

), tổng chu vi 32 m

\Leftrightarrow 1, 57 x + 2, 57 y - 8 = 0

(lấy

π = 3, 14

). Diện tích

S

thoả

x^{2} + y^{2} = \frac{S}{3 , 14}

: bài toán chuyển thành tìm bán kính

R

nhỏ nhất để đường tròn tâm

O

bán kính

R

và đường thẳng

Δ : 1, 57 x + 2, 57 y - 8 = 0

có ít nhất một điểm chung với toạ độ dương. (Sách chỉ nêu hướng dẫn.)

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Công thức Cho

M (x_{0}; y_{0})

thuộc

(C) : (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

(tâm

I (a; b)

). Tiếp tuyến

Δ

của

(C)

tại

M

có vectơ pháp tuyến

M I = (a - x_{0}; b - y_{0})

và phương trình:

(a - x_{0}) (x - x_{0}) + (b - y_{0}) (y - y_{0}) = 0

.
(Tiếp tuyến tại

M

vuông góc với bán kính

I M

Ví dụ 4

(C) : (x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 5

và

M (0; 1) : (0 + 1)^{2} + (1 - 3)^{2} = 5

nên

M

thuộc

(C)

. Tâm

I (- 1; 3), M I = (- 1; 2)

nên tiếp tuyến:

- 1 (x - 0) + 2 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y + 2 = 0

Vận dụng 2 Vật chuyển động trên đường tròn

x^{2} + y^{2} = 25

, văng khỏi quỹ đạo tại

M (3; 4)

và bay theo tiếp tuyến: đường thẳng cần tìm là tiếp tuyến tại

M

. (Người biên soạn tính: vectơ pháp tuyến $MO = (- 3; - 4)$ , phương trình $3 x + 4 y - 25 = 0$ ; sách không in đáp số.)

Mô phỏng tương tác: đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Kéo tâm, đổi bán kính để lập phương trình đường tròn, nhận dạng phương trình và viết phương trình tiếp tuyến.

Mô phỏngPhương trình đường tròn, tiếp tuyến

Mở ở trang riêng ↗

Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

1. Phương trình đường tròn

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Mô phỏng tương tác: đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Sơ đồ tư duy