Bài 25. Nhị thức Newton

Chương VIII. Đại số tổ hợp

1. Khai triển nhị thức Newton $(a + b)^{4}$

Gợi mở bằng sơ đồ hình cây Tích

(a + b) \cdot (c + d) = a c + a d + b c + b d

: các tích nhận được từ sơ đồ hình cây giống như cách lấy ra một đơn thức từ mỗi đa thức rồi nhân lại với nhau; tổng của chúng là khai triển của tích.
Với

(a + b)^{n}

ta được tổng gồm

2^{n}

đơn thức dạng

x \cdot y \cdot z \cdot

·· trong đó mỗi nhân tử là

a

hoặc

b

. Số đơn thức đồng dạng với

a^{n - k} b^{k}

là số cách chọn $k$ nhân tử là $b$ trong

n

nhân tử, tức

C_{n}^{k}

Khai triển

(a + b)^{4}

(a + b)^{4} = C_{4}^{0} a^{4} + C_{4}^{1} a^{3} b + C_{4}^{2} a^{2} b^{2} + C_{4}^{3} ab

+ C_{4}^{4} b^{4}

= a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 ab

+ b^{4}

Ví dụ 1 Khai triển

(2 x + 1)^{4}

: thay

a = 2 x, b = 1 \Rightarrow (2 x)^{4} + 4 \cdot (2 x)^{3} \cdot 1 + 6 \cdot (2 x)^{2} \cdot 1^{2} + 4 \cdot (2 x) \cdot 1^{3} + 1^{4} = 16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1

2. Khai triển nhị thức Newton $(a + b)^{5}$

Khai triển

(a + b)^{5}

(a + b)^{5} = C_{5}^{0} a^{5} + C_{5}^{1} a^{4} b + C_{5}^{2} a^{3} b^{2} + C_{5}^{3} a^{2} b^{3} + C_{5}^{4} ab

⁴

+ C_{5}^{5} b^{5}

= a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 ab

⁴

+ b^{5}

.
Nhận xét: trong khai triển

(a + b)^{n} (n = 4

hoặc 5), các đơn thức đều có bậc $n$ ; số mũ của

a

giảm dần, của

b

tăng dần; hệ số đối xứng.

Ví dụ 2

(x + 3)^{5} = x^{5} + 5 \cdot x^{4} \cdot 3 + 10 \cdot x^{3} \cdot 3^{2} + 10 \cdot x^{2} \cdot 3^{3} + 5 \cdot x \cdot 3^{4} + 3^{5} = x^{5} + 15 x^{4} + 90 x^{3} + 270 x^{2} + 405 x + 243

3. Vận dụng

Tính gần đúng và ứng dụng Các công thức khai triển

(a + b)^{n}

với

n \in {4; 5}

là công cụ hiệu quả để tính chính xác hoặc xấp xỉ một số đại lượng mà không cần máy tính.
Vận dụng: dùng hai số hạng đầu của khai triển

(1 + 0, 05)^{4}

để tính gần đúng

1, 0 5^{4}

, rồi dùng máy tính tính

1, 0 5^{4}

và sai số tuyệt đối. (Sách chỉ nêu đề; người biên soạn tính: $1 + 4 \cdot 0, 05 = 1, 2; 1, 0 5^{4} = 1, 21550625$ ; sai số tuyệt đối $\approx 0, 0155$ .)
Em có biết: trong di truyền học quần thể, nguyên lí Hardy – Weinberg tương ứng với khai triển nhị thức Newton: tần số kiểu gene

AA, A B, BB

là

p^{2}, 2 pq, q^{2}

(ứng với

(p A + qB)^{2}), \dots

; tổng quát, tần số kiểu gene gồm

i

alen

A

và

j

alen

B

là

C_{i + j}^{j} p^{i} q^{j}

Mô phỏng tương tác: nhị thức Newton

Tô các nhánh của sơ đồ hình cây có đúng k lần b để đếm hệ số, xem khai triển (a + b)⁴, (a + b)⁵ và các ví dụ trong SGK.

Mô phỏngSơ đồ hình cây và hệ số của khai triển (a + b)ⁿ

Mở ở trang riêng ↗

Bài 25. Nhị thức Newton

1. Khai triển nhị thức Newton $(a + b)^{4}$

2. Khai triển nhị thức Newton $(a + b)^{5}$

3. Vận dụng

Mô phỏng tương tác: nhị thức Newton

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chương VIII

Bài 25. Nhị thức Newton

1. Khai triển nhị thức Newton (a+b)4

2. Khai triển nhị thức Newton (a+b)5

3. Vận dụng

Mô phỏng tương tác: nhị thức Newton

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chương VIII

1. Khai triển nhị thức Newton $(a + b)^{4}$

2. Khai triển nhị thức Newton $(a + b)^{5}$