Bài 26. Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Chương IX. Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

1. Biến cố

Tình huống mở đầu Trò chơi bốc thăm: mỗi người chọn bộ 6 số đôi một khác nhau từ 45 số 1; 2; …; 45 (bạn An chọn {5; 13; 20; 31; 32; 35}). Người quản trò bốc ngẫu nhiên 6 quả bóng (không hoàn lại) từ 45 quả; bộ 6 số đó là bộ số trúng thưởng. Trùng cả 6 số: giải độc đắc; trùng 5 trong 6 số: giải nhất. Tính xác suất bạn An trúng giải độc đắc, giải nhất.

Các khái niệm đã biết (lớp 9)

Phép thử ngẫu nhiên (phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi thực hiện.
Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử; kí hiệu $Ω$ .
Kết quả thuận lợi cho một biến cố $E$ liên quan tới phép thử $T$ là kết quả của $T$ làm cho biến cố đó xảy ra.

Chú ý: chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn kết quả.

Biến cố là tập con của không gian mẫu Mỗi biến cố là một tập con của không gian mẫu $Ω$ ; tập con này là tập tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó.
Nhận xét: biến cố chắc chắn là tập

Ω

; biến cố không thể là tập

\emptyset

Ví dụ 1, 2 Tổ có 3 học sinh nữ (Hương, Hồng, Dung) và 4 nam (Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến); chọn ngẫu nhiên một bạn:

Ω = {

Hương; Hồng; Dung; Sơn; Tùng; Hoàng; Tiến}.
Trò chơi bốc thăm:

Ω

là tập tất cả các tập con có 6 phần tử của {1; 2; …; 45}; biến cố

F

“An trúng độc đắc” là tập một phần tử

F = {5; 13; 20; 31; 32; 35}

; biến cố

G

“An trúng giải nhất” là tập các tập con 6 phần tử có đúng 5 phần tử thuộc {5; 13; 20; 31; 32; 35} và 1 phần tử không thuộc tập này.

2. Biến cố đối

Biến cố đối Biến cố đối của biến cố

E

là biến cố “

E

không xảy ra”, kí hiệu

\overline{E}

.
Nhận xét: nếu

E

là tập con của

Ω

thì

\overline{E}

là tập tất cả các phần tử của

Ω

mà không là phần tử của

E

, tức phần bù của

E

trong

Ω : \overline{E} = C_{Ω} E

Ví dụ 3 Gieo con xúc xắc:

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} . M

: “Số chấm là số chẵn”

= {2; 4; 6}

; biến cố đối

\overline{M}

: “Số chấm là số lẻ”

= {1; 3; 5}

3. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Đồng khả năng Các kết quả có thể của phép thử

T

gọi là đồng khả năng nếu chúng có khả năng xuất hiện như nhau.

Định nghĩa cổ điển của xác suất Cho phép thử

T

có không gian mẫu

Ω

; giả thiết các kết quả có thể của

T

là đồng khả năng. Nếu

E

là biến cố liên quan đến

T

thì xác suất của

E

P (E) = \frac{n ( E )}{n ( Ω )}

,
trong đó

n (Ω)

và

n (E)

là số phần tử của tập

Ω

và tập

E

.
Nhận xét:

0 \leq P (E) \leq 1; P (Ω) = 1

(biến cố chắc chắn);

P (\emptyset) = 0

(biến cố không thể).

Ví dụ 4, 5 Gieo đồng xu cân đối ba lần,

E

: “hai lần sấp, một lần ngửa”:

Ω = {

SSN; SNS; SNN; SSS; NSN; NNS; NNN; NSS} có

n (Ω) = 8; E = {

SSN; SNS; NSS} có

n (E) = 3 \Rightarrow P (E) = \frac{3}{8}

.
Hai túi: túi I {1;2;3;4;5}, túi II {1;2;3;4}, rút một thẻ mỗi túi; lập bảng

5 \times 4 = 20

kết quả.

E

: “tổng lớn hơn 6” gồm

(3; 4), (4; 3), (5; 2), (4; 4), (5; 3), (5; 4) : n (E) = 6 \Rightarrow P (E) = \frac{6}{20} = 0, 3

.
Chú ý: với phép thử đơn giản, đếm số phần tử bằng cách liệt kê (có thể lập bảng).

4. Nguyên lí xác suất bé

Nguyên lí xác suất bé Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.
Ví dụ: xác suất một chiếc máy bay rơi khoảng 0,00000027 là rất bé nên mỗi hành khách tin rằng biến cố “máy bay rơi” không xảy ra trong chuyến bay của mình.

Chú ý Việc coi xác suất là “rất bé” phụ thuộc từng trường hợp cụ thể: xác suất điện thoại bị lỗi kĩ thuật 0,001 được coi là rất bé, nhưng xác suất cháy nổ động cơ máy bay 0,001 thì không.

Vận dụng – ý nghĩa thực tế của xác suất Nếu biến cố

A

có xác suất

P (A)

thì khi thực hiện phép thử

n

lần

(n \geq 30)

, số lần

A

xuất hiện xấp xỉ

n \cdot P (A)

(sai số tương đối càng bé khi

n

càng lớn). Bài tập: xác suất sinh con trai 0,512, con gái 0,488; ước tính trong số trẻ mới sinh với 10 000 bé gái có bao nhiêu bé trai. (Sách chỉ nêu hướng dẫn; người biên soạn tính: $n \approx 10000 : 0, 488 \approx 20492$ trẻ, số bé trai $\approx 0, 512 \cdot 20492 \approx 10492$ .)

Mô phỏng tương tác: biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Chọn phép thử và biến cố trong SGK, đếm n(E), n(Ω), tính xác suất, xem biến cố đối và gieo thử ngẫu nhiên.

Mô phỏngKhông gian mẫu, biến cố, xác suất cổ điển

Mở ở trang riêng ↗