Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

Đồng biến, nghịch biến Cho

K

là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng; hàm số

y = f (x)

xác định trên

K

Đồng biến trên $K : \forall x_{1}, x_{2} \in K, x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$ (đồ thị đi lên từ trái sang phải).
Nghịch biến trên $K : \forall x_{1}, x_{2} \in K, x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$ (đồ thị đi xuống).

Đồng biến hoặc nghịch biến gọi chung là đơn điệu. Nếu đề không nói rõ tập

K

thì xét trên tập xác định.

Ví dụ

y = ∣ x ∣

: đồng biến trên

(0; + \infty)

, nghịch biến trên

(- \infty; 0) . y = x^{3} - 3 x^{2} + 2

: đồng biến trên

(- \infty; 0)

và

(2; + \infty)

, nghịch biến trên

(0; 2)

Dấu của đạo hàm và tính đơn điệu Cho hàm số

f (x)

có đạo hàm trên khoảng

K

$f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in K \Rightarrow f (x)$ đồng biến trên $K$ .
$f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in K \Rightarrow f (x)$ nghịch biến trên $K$ .

Chú ý

$f^{'} (x) \geq 0 (\leq 0)$ với mọi $x \in K$ và $f^{'} (x) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm thì hàm vẫn đồng biến (nghịch biến) trên $K$ .
$f^{'} (x) = 0$ với mọi $x \in K$ thì $f$ là hàm không đổi trên $K$ .

2. Xét tính đơn điệu bằng bảng biến thiên

Các bước

Tìm tập xác định.
Tính $f^{'} (x)$ ; tìm các điểm $x_{i}$ mà $f^{'}$ bằng 0 hoặc không tồn tại.
Sắp xếp các $x_{i}$ theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên (xét dấu $f^{'}$ ).
Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến (còn gọi “xét chiều biến thiên”).

Ví dụ 1 – đa thức

y = x^{2} - 4 x + 2 : y^{'} = 2 x - 4; y^{'} > 0

khi

x > 2

. Hàm số đồng biến trên

(2; + \infty)

, nghịch biến trên

(- \infty; 2)

Ví dụ 2 – phân thức

y = \frac{x ^{2} - 2 x + 5}{x - 1}

, TXĐ

R ∖ {1}; y^{'} = \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{( x - 1 ) ^{2}}, y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = - 1

hoặc

x = 3

$x$	$- \infty$		$- 1$		$1$		$3$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$	$∥$	$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$- 4$	↘	$- \infty ∣ + \infty$	↘	$4$	↗	$+ \infty$

Đồng biến trên

(- \infty; - 1)

và

(3; + \infty)

; nghịch biến trên

(- 1; 1)

và

(1; 3)

Ví dụ 3 – luôn đơn điệu

y = \frac{x - 2}{x + 1} : y^{'} = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}} > 0

với mọi

x \neq = - 1 \Rightarrow

đồng biến trên từng khoảng

(- \infty; - 1)

và

(- 1; + \infty)

Lưu ý Với hàm phân thức, đồng biến trên từng khoảng xác định, không nói “đồng biến trên

R ∖ {- 1}

”. Điểm gián đoạn ghi bằng hai vạch “

∥

” trong bảng biến thiên.

3. Cực trị của hàm số

Khái niệm Cho hàm số

f (x)

xác định, liên tục trên

(a; b)

và

x_{0} \in (a; b)

Nếu tồn tại $h > 0$ sao cho $f (x) < f (x_{0})$ với mọi $x \in (x_{0} - h; x_{0} + h), x \neq = x_{0}$ thì $f$ đạt cực đại tại $x_{0}$ .
Nếu $f (x) > f (x_{0})$ trong lân cận đó thì $f$ đạt cực tiểu tại $x_{0}$ .

Thuật ngữ

x_{0}

: điểm cực đại (cực tiểu);

f (x_{0})

: giá trị cực đại (cực tiểu), kí hiệu

f_{C Đ} (y_{C Đ}), f_{CT} (y_{CT})

; điểm

M (x_{0}; f (x_{0}))

là điểm cực đại (cực tiểu) của đồ thị. Gọi chung là cực trị.

Điều kiện đủ để có cực trị

f

liên tục trên

(a; b)

chứa

x_{0}

, có đạo hàm trên

(a; x_{0})

và

(x_{0}; b)

$f^{'}$ đổi dấu từ − sang + khi qua $x_{0} \Rightarrow x_{0}$ là điểm cực tiểu.
$f^{'}$ đổi dấu từ + sang − khi qua $x_{0} \Rightarrow x_{0}$ là điểm cực đại.

Các bước tìm cực trị

Tìm tập xác định.
Tính $f^{'} (x)$ ; tìm các điểm $f^{'}$ bằng 0 hoặc không tồn tại.
Lập bảng biến thiên.
Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị.

y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 30

: cực đại tại

x = 1

, cực tiểu tại

x = 3

Ví dụ 4 – hàm bậc ba

y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 30 : y^{'} = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 0 \Leftrightarrow x = 1

hoặc

x = 3

$x$	$- \infty$		$1$		$3$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$34$	↘	$30$	↗	$+ \infty$

Cực đại tại

x = 1, y_{C Đ} = 34

; cực tiểu tại

x = 3, y_{CT} = 30

Ví dụ 5 – phân thức, không có cực trị

y = \frac{x + 1}{x - 1} : y^{'} = \frac{- 2}{( x - 1 ) ^{2}} < 0

với mọi

x \neq = 1 \Rightarrow

hàm không có cực trị. Còn

y = \frac{x ^{2} - 2 x + 9}{x - 2}

có

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = - 1

hoặc

x = 5

: cực đại

y_{C Đ} = - 4

, cực tiểu

y_{CT} = 8

Chú ý – dễ nhầm Nếu

f^{'} (x_{0}) = 0

nhưng

f^{'}

không đổi dấu khi qua

x_{0}

thì

x_{0}

không phải điểm cực trị. Ví dụ

y = x^{3}

có

y^{'} (0) = 0

nhưng không có cực trị. Cực trị còn xảy ra ở điểm hàm liên tục mà đạo hàm không tồn tại.

Ứng dụng – vật ném thẳng đứng

h (t) = 2 + 24, 5 t - 4, 9 t^{2} : h^{'} (t) = 24, 5 - 9, 8 t = 0 \Leftrightarrow t = 2, 5

s; hàm bậc hai có

a < 0

nên đạt cực đại: độ cao lớn nhất 32,625 m.

Mô phỏng tương tác: tính đơn điệu và cực trị

Kéo điểm M trên đồ thị, so sánh dấu của đạo hàm với chiều biến thiên, đọc bảng biến thiên và các điểm cực trị của các hàm số trong SGK.

Mô phỏngDấu của đạo hàm, bảng biến thiên và cực trị

Mở ở trang riêng ↗

Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

2. Xét tính đơn điệu bằng bảng biến thiên

3. Cực trị của hàm số

Mô phỏng tương tác: tính đơn điệu và cực trị

Sơ đồ tư duy