Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. Định nghĩa

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Cho hàm số

y = f (x)

xác định trên tập

D

Số $M$ là giá trị lớn nhất của hàm trên $D$ nếu $f (x) \leq M$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_{0} \in D$ sao cho $f (x_{0}) = M$ . Kí hiệu $M = max_{D} f (x)$ .
Số $m$ là giá trị nhỏ nhất nếu $f (x) \geq m$ với mọi $x \in D$ và tồn tại $x_{0}$ sao cho $f (x_{0}) = m$ . Kí hiệu $m = min_{D} f (x)$ .

Chú ý

Không nói rõ tập $D$ thì hiểu là trên tập xác định.
Thường lập bảng biến thiên trên $D$ để kết luận. Có thể viết gọn $max y, min y$ .
Điều kiện “tồn tại $x_{0}$ dấu bằng xảy ra” là bắt buộc; hàm có thể không có GTLN hoặc GTNN.

Ví dụ 1 – định nghĩa và bảng biến thiên

y = 1 - x^{2}

, TXĐ

[- 1; 1] : 0 \leq y \leq 1

; bằng 0 khi

x = \pm 1

, bằng 1 khi

x = 0

. Vậy

min = 0, max = 1

(bảng biến thiên:

y^{'} = - \frac{x}{1 - x ^{2}}

, đổi dấu từ + sang − tại 0).

Ví dụ 2 – trên khoảng, không có GTLN

y = x - 2 + \frac{1}{x}

trên

(0; + \infty) : y^{'} = 1 - \frac{1}{x ^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 1; lim_{x \to 0^{+}} y = lim_{x \to + \infty} y = + \infty

$x$	$0$		$1$		$+ \infty$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$
$y$	$+ \infty$	↘	$0$	↗	$+ \infty$

min y = y (1) = 0

và hàm không có giá trị lớn nhất.

Ví dụ 3 – hộp lớn nhất (tình huống mở đầu) Tấm bìa vuông cạnh 60 cm, cắt bốn góc hình vuông cạnh

x (0 < x < 30)

, gấp thành hộp không nắp:

V (x) = (60 - 2 x)^{2} x = 4 x^{3} - 240 x^{2} + 3600 x . V^{'} = 12 x^{2} - 480 x + 3600 = 0 \Leftrightarrow x = 10

(nhận),

x = 30

(loại).

$x$	$0$		$10$		$30$
$V^{'}$		$+$	$0$	$-$
$V$	$0$	↗	$16000$	↘	$0$

Thể tích lớn nhất 16 000 cm³ khi cắt các hình vuông cạnh 10 cm.

2. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một đoạn

Quy tắc Hàm

y = f (x)

liên tục trên $[a; b]$ , có đạo hàm trên

(a; b)

(có thể trừ hữu hạn điểm), và

f^{'} = 0

chỉ tại hữu hạn điểm:

Tìm các điểm $x_{1}, \dots, x_{n} \in (a$ ; $b$ ) mà $f^{'} = 0$ hoặc không tồn tại.
Tính $f (x_{1}), \dots, f (x_{n})$ , $f (a)$ và $f (b)$ .
Số lớn nhất là $M = max_{[a; b]} f$ , số nhỏ nhất là $m = min_{[a; b]} f$ .

Ví dụ 4

y = x^{4} - 4 x^{2} + 3

trên

[0; 4] : y^{'} = 4 x (x^{2} - 2) = 0 \Rightarrow x = 2 \in (0; 4) . y (0) = 3; y (4) = 195; y (2) = - 1

. Vậy

max = 195

tại

x = 4; min = - 1

tại

x = 2

Ví dụ 5 – hàm lượng giác

y = sin x + cos x

trên

[0; 2 π] : y^{'} = cos x - sin x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4}

hoặc

\frac{5 π}{4} . y (0) = y (2 π) = 1; y (\frac{π}{4}) = 2; y (\frac{5 π}{4}) = - 2

. Vậy

max = 2, min = - 2

Lưu ý Chỉ lấy nghiệm của

f^{'} = 0

nằm trong khoảng

(a; b)

. Luôn tính cả hai đầu mút. Bài toán thực tế: ghi rõ điều kiện của biến (ví dụ

0 < x < 30

) trước khi lập hàm.

Vận dụng – mô hình dịch bệnh

N (t) = - t^{3} + 12 t^{2}, 0 \leq t \leq 12 : N^{'} = - 3 t^{2} + 24 t = 0 \Rightarrow t = 8. N (0) = 0; N (8) = 256; N (12) = 0 \Rightarrow

tối đa 25 600 người. Tốc độ lây

N^{'} = - 3 t^{2} + 24 t

lớn nhất tại

t = 4

(đỉnh của parabol).

Mô phỏng tương tác: giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Kéo hai đầu mút của đoạn, quan sát các điểm cần so sánh theo các bước trong SGK để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.

Mô phỏngGiá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Mở ở trang riêng ↗

Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Định nghĩa

2. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một đoạn

Mô phỏng tương tác: giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Sơ đồ tư duy