Bài 18. Xác suất có điều kiện

Chương VI. Xác suất có điều kiện

1. Xác suất có điều kiện

Định nghĩa Cho hai biến cố

A

và

B

. Xác suất của

A

được tính khi biết biến cố $B$ đã xảy ra gọi là xác suất của $A$ với điều kiện $B$ , kí hiệu

P (A ∣ B)

Công thức Với hai biến cố

A, B

bất kì và

P (B) > 0

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$

A B

là biến cố “

A

và

B

cùng xảy ra”. Cũng có thể tính trực tiếp: coi

B

đã xảy ra rồi đếm lại số trường hợp.

Ví dụ 1 – lấy bi không hoàn lại Hộp 20 bi trắng, 10 bi đen. Bình lấy một viên rồi An lấy một viên.

A

: “An lấy bi trắng”;

B

: “Bình lấy bi trắng”.

Định nghĩa: $B$ xảy ra $\Rightarrow$ còn 29 viên (19 trắng, 10 đen) $\Rightarrow P (A ∣ B) = \frac{19}{29}$ .
Công thức: $P (B) = \frac{20 \cdot 29}{30 \cdot 29}; P (A B) = \frac{20 \cdot 19}{30 \cdot 29} \Rightarrow P (A ∣ B) = \frac{20 \cdot 19}{20 \cdot 29} = \frac{19}{29}$ .

Biến cố độc lập Nếu

A

và

B

độc lập

(P (A) > 0, P (B) > 0)

thì

P (A ∣ B) = P (A)

và

P (B ∣ A) = P (B)

(việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng xác suất của biến cố kia). Khi đó

P (A B) = P (A) \cdot P (B)

. Cũng có

P (A ∣ \overline{B}) = P (A)

(độc lập kéo theo độc lập với biến cố đối).

2. Bảng dữ liệu thống kê $2 \times 2$

Ví dụ 3 – dây an toàn và tai nạn giao thông 577 006 vụ tai nạn:

Thắt dây an toàn	Tử vong	Sống sót
Không	1 601	162 527
Có	510	412 368

$A$ : “tử vong”; $B$ : “không thắt dây”: $n (B) = 164128, n (A B) = 1601 \Rightarrow P (A ∣ B) = \frac{1 601}{164 128} \approx$ 0,009755.
Với $\overline{B}$ (có thắt dây): $n (\overline{B}) = 412878, n (A \overline{B}) = 510 \Rightarrow P (A ∣ \overline{B}) \approx$ 0,001235.
Tỉ số $\approx 7, 9$ : không thắt dây an toàn làm nguy cơ tử vong tăng gấp khoảng 7,9 lần.

Cách làm với bảng

2 \times 2

Xác suất có điều kiện = (số ở ô giao) / (tổng của cột hoặc hàng điều kiện). Ví dụ trong bảng thuốc

M, N : P (M ∣

khỏi bệnh)

= \frac{1 600}{1 600 + 1 200}; P (N ∣

không khỏi)

= \frac{400}{800 + 400}

3. Công thức nhân xác suất

Công thức Với hai biến cố

A, B

bất kì:

$P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$

(Đúng cả khi

P (B) = 0

.) Nếu

A, B

độc lập thì

P (A B) = P (A) P (B)

Ví dụ 4 – hai lần lấy bút 7 bút bi xanh, 5 bút bi đen. Sơn lấy một chiếc rồi Tùng lấy một chiếc trong 11 chiếc còn lại.

A

: Sơn lấy bút đen;

B

: Tùng lấy bút xanh.

P (A) = \frac{5}{12}; P (B ∣ A) = \frac{7}{11} \Rightarrow P (A B) = \frac{5}{12} \cdot \frac{7}{11} = \frac{35}{132}

Sơ đồ hình cây Vẽ cây xác suất: nhánh đầu ghi xác suất của biến cố thứ nhất; nhánh sau ghi xác suất có điều kiện; xác suất của một đường đi bằng tích các xác suất trên nhánh. Cây ở Ví dụ 4: gốc

\to

(\frac{5}{12}), X (\frac{7}{12})

; từ Đ

\to

(\frac{4}{11}), X (\frac{7}{11})

; từ X

\to

(\frac{5}{11}), X (\frac{6}{11})

. Hai bút cùng màu:

\frac{5}{12} \cdot \frac{4}{11} + \frac{7}{12} \cdot \frac{6}{11} = \frac{62}{132} = \frac{31}{66}

Vận dụng – “Ô cửa bí mật” Ba cửa, một cửa có ô tô. Người chơi chọn cửa 1; quản trò mở cửa 3 (luôn là cửa có lừa).

E_{k}

: ô tô sau cửa

k; H

: quản trò mở cửa 3 thấy lừa.

P (E_{1}) = P (E_{2}) = P (E_{3}) = \frac{1}{3}; P (H ∣ E_{1}) = \frac{1}{2}; P (H ∣ E_{2}) = 1; P (H ∣ E_{3}) = 0 \Rightarrow P (H) = \frac{1}{2} \Rightarrow P (E_{1} ∣ H) = \frac{1}{3}; P (E_{2} ∣ H) = \frac{2}{3}

. Nên đổi sang cửa 2 (xác suất thắng gấp đôi).

Lưu ý

P (A ∣ B)

và

P (B ∣ A)

là hai số khác nhau: điều kiện nằm sau dấu “|”. Khi lấy không hoàn lại hoặc có thông tin mới thì xác suất thay đổi, không dùng tích đơn giản

P (A) P (B)

Em có biết – cập nhật Bayes Bắt đầu với xác suất ban đầu về một vấn đề, mỗi khi có thông tin mới ta cập nhật bằng xác suất có điều kiện; phương pháp này được dùng trong tìm kiếm cứu nạn trên biển.

Mô phỏng tương tác: xác suất có điều kiện

Thu hẹp không gian mẫu khi biết B đã xảy ra, đọc xác suất từ bảng số liệu, dùng công thức nhân xác suất và sơ đồ hình cây.

Mô phỏngXác suất có điều kiện

Mở ở trang riêng ↗

Bài 18. Xác suất có điều kiện

1. Xác suất có điều kiện

2. Bảng dữ liệu thống kê 2×2

3. Công thức nhân xác suất

Mô phỏng tương tác: xác suất có điều kiện

Sơ đồ tư duy

2. Bảng dữ liệu thống kê $2 \times 2$