Bài 17. Phương trình mặt cầu

Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

1. Phương trình mặt cầu

Mặt cầu Mặt cầu tâm

I

, bán kính

R (R > 0)

là tập hợp các điểm trong không gian cách

I

một khoảng bằng

R

. Điểm

M

nằm trong mặt cầu nếu

I M < R

; nằm ngoài nếu

I M > R

. Đường thẳng qua tâm cắt mặt cầu tại hai điểm; đoạn nối hai điểm đó là đường kính (dài

2 R

, trung điểm là

I

Phương trình chính tắc Mặt cầu

(S)

tâm

I (a; b; c)

, bán kính

R

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$

$M$ nằm trong $(S) \Leftrightarrow (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} < R^{2}$ ; nằm ngoài $\Leftrightarrow> R^{2}$ .

Ví dụ 1

(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} + z^{2} = 5

: tâm

I (1; - 3; 0), R = 5

. Gốc

O : O I^{2} = 1 + 9 = 10 > 5 \Rightarrow O

nằm ngoài.

Ví dụ 2 – viết phương trình

Tâm $I (\frac{3}{2}; 0; - 3), R = \frac{9}{4} : (x - \frac{3}{2})^{2} + y^{2} + (z + 3)^{2} = \frac{81}{16}$ .
Đường kính $A B$ với $A (1; 2; 1), B (3; 1; 5)$ : tâm là trung điểm $J (2; \frac{3}{2}; 3); R = \frac{A B}{2} = \frac{21}{2} \Rightarrow (x - 2)^{2} + (y - \frac{3}{2})^{2} + (z - 3)^{2} = \frac{21}{4}$ .

Dạng khai triển Phương trình

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0

là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ . Khi đó tâm

I (a; b; c)

, bán kính

R = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d

Ví dụ 3, 4

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 6 z - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16

: tâm

(1; - 2; 3), R = 4

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 3 y - 8 z + 100 = 0 : a^{2} + b^{2} + c^{2} - d = 1 + \frac{9}{4} + 16 - 100 < 0 \Rightarrow

không là mặt cầu. Phương trình có

x y

(như

- 2 x y

) cũng không phải mặt cầu.

Lưu ý Hệ số của

x^{2}, y^{2}, z^{2}

phải bằng nhau (bằng 1) và không có các tích

x y, yz, z x

. Nếu mặt cầu có tâm

I

và tiếp xúc với mặt phẳng

(P)

thì

R = d (I, (P))

2. Ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn

Trái Đất trong hệ toạ độ Coi Trái Đất là mặt cầu bán kính 6 371 km; chọn gốc

O

là tâm, 1 đơn vị

= 6371

\Rightarrow

phương trình

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

; tia

O x

qua giao của kinh tuyến gốc và xích đạo,

O z

qua cực Bắc.

Vị trí $α ° N, β °$ E $(0 < α < 90, 0 < β < 180)$ có toạ độ $P (cos α ° cos β °; cos α ° sin β °; sin α °)$ .
Vị trí $α ° N, β °$ W: $Q (cos α ° cos β °; - cos α ° sin β °; sin α °)$ .

Khoảng cách trên mặt đất Với hai vị trí

P, Q

: tính

OP \cdot OQ = cos (POQ)

(vì

∣ OP ∣ = ∣ OQ ∣ = 1) \Rightarrow

góc

POQ \Rightarrow

độ dài cung nhỏ

= (\frac{POQ}{360°}) \cdot 2 π

(đơn vị)

\Rightarrow

nhân 6 371 km.

Ví dụ 5 – tình huống mở đầu

P : 10° N, 15°

E và

Q : 80° N, 70° E : OP \cdot OQ \approx 0, 2691 \Rightarrow

góc

POQ \approx 74, 3893°

; cung

\approx (\frac{74 , 3893}{360}) \cdot 6, 2832 \approx 1, 2983

đơn vị

\Rightarrow

khoảng cách

\approx 1, 2983 \cdot 6371 \approx

8 271 km.

Em có biết – GPS GPS xác định vị trí bằng khoảng cách tới

\geq 3

vệ tinh (mỗi khoảng cách cho một mặt cầu tâm tại vệ tinh); mỗi vị trí trên mặt đất luôn thấy ít nhất 4 vệ tinh để đồng bộ thời gian.

Tổng kết chương V

Mặt phẳng: $A x + B y + C z + D = 0$ , pháp tuyến $n = [u, v]$ ; khoảng cách điểm–mặt $= \frac{∣ \dots ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ ; vuông góc: $n \cdot n^{'} = 0$ .
Đường thẳng: tham số/chính tắc; vị trí tương đối nhờ $[u_{1}, u_{2}]$ và $A_{1} A_{2}$ .
Góc: đường–đường $(cos)$ , đường–mặt $(sin)$ , mặt–mặt $(cos)$ đều dùng giá trị tuyệt đối.
Mặt cầu: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ .

Mô phỏng tương tác: phương trình mặt cầu

Thay đổi tâm và bán kính, xét vị trí của một điểm với mặt cầu, nhận biết phương trình mặt cầu dạng khai triển và tính khoảng cách trên mặt Trái Đất.

Mô phỏngPhương trình mặt cầu

Mở ở trang riêng ↗

Bài 17. Phương trình mặt cầu

1. Phương trình mặt cầu

2. Ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn

Mô phỏng tương tác: phương trình mặt cầu

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chương V