Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Chương VI. Xác suất có điều kiện

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức Cho hai biến cố

A

và

B

$P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A})$

Ý nghĩa:

B

xảy ra theo hai con đường loại trừ nhau: qua

A

hoặc qua

\overline{A}

; cộng xác suất của hai đường.

Tình huống mở đầu – bán vé buổi ca nhạc

A

: “trời mưa”,

B

: “bán hết vé”.

P (A) = 0, 75; P (\overline{A}) = 0, 25; P (B ∣ A) = 0, 4; P (B ∣ \overline{A}) = 0, 9 \Rightarrow P (B) = 0, 75 \cdot 0, 4 + 0, 25 \cdot 0, 9 = 0, 3 + 0, 225 =

0,525.

Ví dụ 1 – ông An đi làm Hôm nay đi xe buýt thì hôm sau đi xe máy với xác suất 0,4; hôm nay đi xe máy thì hôm sau đi xe buýt với xác suất 0,7. Thứ Hai đi buýt.

A

: “thứ Ba đi xe máy”;

B

: “thứ Tư đi xe máy”.

P (A) = 0, 4; P (\overline{A}) = 0, 6; P (B ∣ A) = 1 - 0, 7 = 0, 3; P (B ∣ \overline{A}) = 0, 4 \Rightarrow P (B) = 0, 4 \cdot 0, 3 + 0, 6 \cdot 0, 4 =

0,36.

Sơ đồ hình cây Gốc

\to A (0, 4), \overline{A} (0, 6)

; từ

A \to B (0, 3), \overline{B} (0, 7)

; từ

\overline{A} \to B (0, 4), \overline{B} (0, 6)

. Có hai nhánh đi tới

B : O A B

và

O \overline{A} B \Rightarrow P (B) = 0, 4 \cdot 0, 3 + 0, 6 \cdot 0, 4 = 0, 36

. Tương tự

P (\overline{B}) = 0, 4 \cdot 0, 7 + 0, 6 \cdot 0, 6 = 0, 64

(và

0, 36 + 0, 64 = 1

Vận dụng – đậu Hà Lan Cây bố, mẹ chọn ngẫu nhiên: 40% kiểu gene bb, 60% Bb. Cây con lấy ngẫu nhiên một gene từ bố, một gene từ mẹ.

M

: “lấy gene b từ bố”:

P (M) = 0, 4 \cdot 1 + 0, 6 \cdot \frac{1}{2} = 0, 7

; tương tự

P (N) = 0, 7

. Hai lần lấy độc lập

\Rightarrow P

(cây con bb)

= 0, 7 \cdot 0, 7 =

0,49.

Cách nhận dạng Dấu hiệu dùng xác suất toàn phần: kết quả cần tính

(B)

phụ thuộc vào nhiều điều kiện / nguồn (

A

hoặc

\overline{A}

) và đề cho xác suất của từng nguồn cùng xác suất có điều kiện. Hệ

A, \overline{A}

phải loại trừ nhau và bao quát (tổng bằng 1).

2. Công thức Bayes

Công thức Với

P (B) > 0

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B}{A ) ∣ P ( A ) \cdot P ( B ∣ A ) + P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )} = \frac{P ( A ) \cdot P ( B}{A ) ∣ P ( B )}$

Mẫu số chính là công thức xác suất toàn phần của

P (B)

. Công thức Bayes “đảo điều kiện”: biết

P (B ∣ A)

, tìm

P (A ∣ B)

Ý nghĩa Ban đầu biết xác suất

P (A) = p

. Khi có thông tin mới “

B

đã xảy ra”, ta cập nhật hiểu biết bằng

P (A ∣ B)

. Phân biệt:

P (A ∣ B)

là xác suất mắc bệnh khi xét nghiệm dương tính;

P (B ∣ A)

là xác suất xét nghiệm dương tính khi đã mắc bệnh.

Ví dụ 2 – tổ hợp A00 80% học sinh chọn tổ hợp A00; đỗ đại học: 0,6 (chọn A00), 0,7 (không chọn). Một học sinh đã đỗ đại học, tìm xác suất học sinh đó chọn A00:

$P (A ∣ B) = \frac{0 , 8 \cdot 0 , 6}{0 , 8 \cdot 0 , 6 + 0 , 2 \cdot 0 , 7} = \frac{0 , 48}{0 , 62} \approx$ 0,7742

Ví dụ 3 – xét nghiệm bệnh hiếm Xét nghiệm dương tính với người bệnh: 0,95; với người không bệnh: 0,01. Gọi

p

là tỉ lệ dân số mắc bệnh:

$P$ (bệnh $∣$ dương tính) $= \frac{0 , 95 p}{0 , 95 p + 0 , 01 ( 1 - p )}$

Nếu bệnh rất hiếm, ví dụ

p = 0, 001

, thì xác suất

\approx \frac{0 , 00095}{0 , 01094} \approx

0,087 (8,7%) — thấp hơn nhiều so với con số 0,95 gây hoảng hốt. Vì phần lớn người dương tính là dương tính giả từ rất đông người không bệnh.

Luyện tập – chai rượu 30% là rượu loại I. Chai loại I được nhận là loại I với xác suất 0,9; chai không phải loại I được nhận là không phải loại I với xác suất 0,95 (nên nhận nhầm thành loại I:

0, 05) . A

: “chai loại I”,

B

: “nhận là loại I”:

P (A ∣ B) = \frac{0 , 3 \cdot 0 , 9}{0 , 3 \cdot 0 , 9 + 0 , 7 \cdot 0 , 05} = \frac{0 , 27}{0 , 305} \approx

0,885.

Các bước giải bài Bayes

Đặt biến cố nguyên nhân $A$ (và $\overline{A}$ ) và biến cố kết quả $B$ .
Ghi $P (A), P (\overline{A}), P (B ∣ A), P (B ∣ \overline{A})$ (vẽ sơ đồ hình cây cho dễ nhìn).
Tính $P (B)$ bằng xác suất toàn phần, rồi thay vào Bayes.

Tổng kết chương VI

Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ ; độc lập: $P (A ∣ B) = P (A)$ .
Nhân: $P (A B) = P (A) P (B ∣ A)$ .
Toàn phần: $P (B) = P (A) P (B ∣ A) + P (\overline{A}) P (B ∣ \overline{A})$ .
Bayes: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .

Mô phỏng tương tác: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Kéo các xác suất trên sơ đồ hình cây, quan sát mô hình diện tích và cách đếm tần số để hiểu công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Mô phỏngXác suất toàn phần và Bayes

Mở ở trang riêng ↗

Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

1. Công thức xác suất toàn phần

2. Công thức Bayes

Mô phỏng tương tác: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chương VI