Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Chương II. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Định nghĩa Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cặp số

(x_{0}; y_{0})

là nghiệm của hệ khi đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ.

Ví dụ 1 Hệ

x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 150

là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn; cặp

(0; 0)

thoả cả ba bất phương trình nên là một nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ

Miền nghiệm của hệ Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ đó. Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Cách xác định miền nghiệm

Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.
Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

Phương trình trục $O x : y = 0$ ; trục $O y : x = 0$ .

Ví dụ 2 và chú ý Hệ

x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 150

: miền nghiệm là miền tam giác $O A B$ với

O (0; 0), A (150; 0), B (0; 150)

. Nếu thay bằng

x + y < 150

thì miền nghiệm là tam giác

O A B

bỏ đi cạnh

A B

.
Hệ

7 x + 4 y \leq 2400; x + y \leq 100; x \geq 0

: lần lượt gạch bỏ các nửa mặt phẳng không chứa nghiệm (các điểm kiểm tra:

O (0; 0)

cho hai bất phương trình đầu,

(1; 0)

cho

x \geq 0

); miền không bị gạch là miền nghiệm.

3. Ứng dụng: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Nhận xét quan trọng Giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức

F (x; y) = a x + b y

, với

(x; y)

là toạ độ các điểm thuộc miền đa giác

A_{1} A_{2} \dots A_{n}

(các điểm nằm bên trong hay trên các cạnh), đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.

Các bước giải bài toán tối ưu

Bước 1. Lập hệ bất phương trình từ các ràng buộc; xác định miền nghiệm (đa giác) và toạ độ các đỉnh.
Bước 2. Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh.
Bước 3. So sánh, chọn giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) cần tìm.

Ví dụ 3 – tình huống mở đầu (cửa hàng điều hoà) Điều hoà hai chiều: mua 20 triệu, lãi 3,5 triệu; điều hoà một chiều: mua 10 triệu, lãi 2 triệu. Vốn

\leq 1, 2

tỉ, nhu cầu

\leq 100

máy. Gọi

x, y

là số máy hai chiều, một chiều:

x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 100, 20 x + 10 y \leq 1200 \Leftrightarrow 2 x + y \leq 120

. Lợi nhuận

F (x; y) = 3, 5 x + 2 y

.
Miền nghiệm là tứ giác

O A BC

với

O (0; 0), A (0; 100), B (20; 80), C (60; 0) . F (0; 0) = 0, F (0; 100) = 200, F (20; 80) =

230,

F (60; 0) = 210

\Rightarrow

Cần nhập 20 máy hai chiều và 80 máy một chiều để lợi nhuận lớn nhất (230 triệu đồng).

Mô phỏng tương tác: miền nghiệm của hệ bất phương trình

Bật, tắt từng bất phương trình của hệ, quan sát miền nghiệm (miền không bị gạch), toạ độ các đỉnh và giá trị của F(x; y) = ax + by tại các đỉnh.

Mô phỏngMiền nghiệm của hệ – giá trị của F tại các đỉnh

Mở ở trang riêng ↗

Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ

3. Ứng dụng: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Mô phỏng tương tác: miền nghiệm của hệ bất phương trình

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chương II