Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Chương III. Hệ thức lượng trong tam giác

1. Giá trị lượng giác của một góc

Nửa đường tròn đơn vị Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, nửa đường tròn tâm

O

, bán kính

R = 1

nằm phía trên trục hoành gọi là nửa đường tròn đơn vị. Với mỗi góc

α (0° \leq α \leq 180°)

có duy nhất điểm

M (x_{0}; y_{0})

trên nửa đường tròn đơn vị sao cho

∠

xOM

= α

Định nghĩa

$sin$ của góc $α$ là tung độ $y_{0}$ của điểm $M : sin α = y_{0}$ .
côsin của góc $α$ là hoành độ $x_{0}$ của điểm $M : cos α = x_{0}$ .
tang: $tan α = \frac{y _{0}}{x _{0}}$ (khi $α \neq = 90°$ , tức $x_{0} \neq = 0$ ).
côtang: $cot α = \frac{x _{0}}{y _{0}}$ (khi $α \neq = 0°$ và $α \neq = 180°$ , tức $y_{0} \neq = 0$ ).

Suy ra:

tan α = \frac{sin α}{cos α} (α \neq = 90°); cot α = \frac{cos α}{sin α} (α \neq = 0°, 180°); tan α = \frac{1}{cot α} (α \in / {0°; 90°; 180°})

Bảng giá trị lượng giác của góc đặc biệt (cần nhớ)

$α$	0°	30°	45°	60°	90°	180°
$sin α$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	1	0
$cos α$	1	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	−1
$tan α$	0	$\frac{3}{3}$	1	$3$	\|\|	0
$cot α$	\|\|	$3$	1	$\frac{3}{3}$	0	\|\|

Kí hiệu “||” chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định.

Ví dụ 1 Góc

135° : M

có toạ độ

(- \frac{2}{2}; \frac{2}{2})

nên

sin 135° = \frac{2}{2}, cos 135° = - \frac{2}{2}, tan 135° = - 1, cot 135° = - 1

Dùng máy tính cầm tay Đặt đơn vị góc là “độ” (SHIFT MODE

\to 3

). Tính:

sin 48°5 0^{'} 4 0^{''} \approx 0, 7529256291; cos 112°1 2^{'} 4 5^{''} \approx - 0, 3780427715; tan 15° = 2 - 3

. Tìm góc khi biết giá trị:

sin x = 0, 3456 \Rightarrow x \approx 20°1 3^{'} 7^{''}

(SHIFT

sin

).
Chú ý: khi tìm

x

biết

sin x

, máy chỉ đưa ra giá trị

x \leq 90°

; với

cos, tan

làm tương tự (thay phím).

2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Hai góc bù nhau

α

và

180° - α

Hai điểm

M, M^{'}

ứng với hai góc bù nhau đối xứng nhau qua trục

O y

, nên:

$sin (180° - α) = sin α$ ;
$cos (180° - α) = - cos α$ ;
$tan (180° - α) = - tan α (α \neq = 90°)$ ;
$cot (180° - α) = - cot α (0° < α < 180°)$ .

Ghi nhớ: hai góc bù nhau có $sin$ bằng nhau; có côsin, tang, côtang đối nhau.

Góc phụ nhau Hai góc phụ nhau:

sin

góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia:

sin (90° - α) = cos α; cos (90° - α) = sin α

Ví dụ 2 120°, 135°, 150° bù với

60°, 45°, 30° : sin 120° = \frac{3}{2}, cos 120° = - \frac{1}{2}, tan 120° = - 3, cot 120° = - \frac{3}{3}; sin 150° = \frac{1}{2}, cos 150° = - \frac{3}{2}, tan 150° = - \frac{3}{3}, cot 150° = - 3

Hệ thức cơ bản (bài tập 3.3) Từ định nghĩa (

M

nằm trên đường tròn đơn vị):

sin^{2} α + cos^{2} α = 1; 1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α} (α \neq = 90°); 1 + cot^{2} α = \frac{1}{sin ^{2} α} (0° < α < 180°)

. (Sách đặt các hệ thức này làm bài tập chứng minh.)

Mô phỏng tương tác: nửa đường tròn đơn vị

Kéo điểm M trên nửa đường tròn đơn vị để thay đổi góc α, quan sát sin, côsin, tang, côtang của α và của góc bù 180° − α.

Mô phỏngGiá trị lượng giác của góc từ 0° đến 180°

Mở ở trang riêng ↗

Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

1. Giá trị lượng giác của một góc

2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Mô phỏng tương tác: nửa đường tròn đơn vị

Sơ đồ tư duy