Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

Chương III. Hệ thức lượng trong tam giác

1. Định lí côsin

Kí hiệu Trong tam giác

A BC : A, B, C

là các góc;

a, b, c

là độ dài các cạnh đối diện đỉnh

A, B, C; p

là nửa chu vi;

S

là diện tích;

R, r

là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp.

Định lí côsin Trong tam giác

A BC

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c

cos A

b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a

cos B

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab

cos C

(Định lí Pythagore là trường hợp đặc biệt khi góc vuông,

cos 90° = 0

.) Từ đó suy ra:

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

, và tương tự cho

cos B, cos C

Ví dụ 1 Tam giác

A BC

có

A = 120°, A B = 5, A C = 8 : B C^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot (- \frac{1}{2}) = 129 \Rightarrow BC = 129

2. Định lí $sin$

Định lí

sin

Trong tam giác

A BC : \frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

Ví dụ 2

A = 135°, C = 15°, b = 12 : B = 180° - (135° + 15°) = 30°; \frac{a}{sin 135°} = \frac{12}{sin 30°} = \frac{c}{sin 15°} = 2 R \Rightarrow a = 122, c = 24 sin 15° \approx 6, 21, R = \frac{12}{2 sin 30°} = 12

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Giải tam giác Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của nó gọi là giải tam giác.

Ba trường hợp thường gặp

Biết hai cạnh và góc xen giữa $\to$ dùng định lí côsin tính cạnh còn lại, rồi tính các góc;
Biết ba cạnh $\to$ dùng định lí côsin tính các góc;
Biết một cạnh và hai góc kề $\to$ tính góc còn lại (tổng ba góc $= 180°$ ), dùng định lí $sin$ tính các cạnh.

Ví dụ 3, 4

c = 14, A = 60°, B = 40° : C = 80°; a = \frac{14 sin 60°}{sin 80°} \approx 12, 31; b = \frac{14 sin 40°}{sin 80°} \approx 9, 14

.
Đo khoảng cách tới Tháp Rùa (tình huống mở đầu): đặt hai cọc tiêu

A, B

trên bờ, đo

A B

; đo các góc tạo bởi hướng ngắm tại

A

và tại

B

; gọi

C

là vị trí tháp, áp dụng định lí

sin

cho tam giác

A BC

để tính

A C

4. Công thức tính diện tích tam giác

Các công thức

$S = p r = \frac{( a + b + c ) r}{2} (r$ là bán kính đường tròn nội tiếp);
$S = \frac{1}{2} \cdot b c$ · $sin A = \frac{1}{2} \cdot c a$ · $sin B = \frac{1}{2} \cdot ab$ · $sin C$ ;
$S = \frac{ab c}{4 R}$ (do $sin A = \frac{a}{2 R}$ );
Công thức Heron: $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$ .

Ví dụ 5, 6

c = 4, b = 6, A = 150° : S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot sin 150° = 6

. Tam giác

a = 13, b = 14, c = 15 : cos A = \frac{1 4 ^{2} + 1 5 ^{2} - 1 3 ^{2}}{420} = 0, 6 \Rightarrow sin A = 1 - cos^{2} A = 0, 8; S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 \cdot 0, 8 = 84

; hoặc Heron với

p = 21 : S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 84

Mô phỏng tương tác: hệ thức lượng trong tam giác

Kéo ba đỉnh của tam giác ABC và kiểm chứng định lí côsin, định lí sin, các công thức tính diện tích bằng số liệu đo trên hình.

Mô phỏngĐịnh lí côsin, định lí sin, công thức diện tích

Mở ở trang riêng ↗

Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

1. Định lí côsin

2. Định lí $sin$

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

4. Công thức tính diện tích tam giác

Mô phỏng tương tác: hệ thức lượng trong tam giác

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chương III

Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

1. Định lí côsin

2. Định lí sin

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

4. Công thức tính diện tích tam giác

Mô phỏng tương tác: hệ thức lượng trong tam giác

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chương III

2. Định lí $sin$