Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ

Chương IV. Vectơ

1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa Cho hai vectơ

a, b

. Lấy một điểm

A

tuỳ ý và vẽ

A B = a, BC = b

. Khi đó vectơ

A C

gọi là tổng của hai vectơ

a

và

b

, kí hiệu

a + b

. Phép lấy tổng của hai vectơ gọi là phép cộng vectơ.

Hai quy tắc

Quy tắc ba điểm: với ba điểm bất kì $A, B, C : A B + BC = A C$ .
Quy tắc hình bình hành: nếu $A BC D$ là hình bình hành thì $A B + A D = A C$ .

Tính chất của phép cộng vectơ Với ba vectơ

a, b, c

tuỳ ý:

Giao hoán: $a + b = b + a$ ;
Kết hợp: $(a + b) + c = a + (b + c)$ ;
Vectơ-không: $a + 0 = 0 + a = a$ .

Nhờ tính chất kết hợp, ta viết

a + b + c

và gọi là tổng của ba vectơ; tương tự với tổng nhiều vectơ.

Ví dụ 1 Hình vuông

A BC D

cạnh

1 : A B + CB = D C + CB = D B

nên

∣ A B + CB ∣ = D B = 2; A B + D C + B D = (A B + B D) + D C = A D + D C = A C

nên độ dài là

A C = 2

2. Hiệu của hai vectơ

Vectơ đối

Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $a$ gọi là vectơ đối của $a$ , kí hiệu $- a$ .
Vectơ $0$ được coi là vectơ đối của chính nó.

Chú ý: hai vectơ đối nhau khi và chỉ khi tổng của chúng bằng

0

Hiệu của hai vectơ Vectơ

a + (- b)

gọi là hiệu của hai vectơ

a

và

b

, kí hiệu

a - b

. Phép lấy hiệu hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.

Quy tắc hiệu Với ba điểm

O, M, N : MN = ON - OM

Ví dụ 2 Hình bình hành

A BC D

và điểm

O

bất kì:

OB - O A = A B, OC - O D = D C

, mà

A B = D C

nên

OB - O A = OC - O D

3. Trung điểm, trọng tâm và ứng dụng vật lí

Ví dụ 3 (kết quả cần nhớ)

Nếu $I$ là trung điểm của $A B$ thì $I A + I B = 0$ (hai vectơ cùng độ dài, ngược hướng).
Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $A BC$ thì $G A + GB + GC = 0$ . (Chứng minh: lấy $D$ đối xứng $G$ qua trung điểm $I$ của $BC, GB D C$ là hình bình hành nên $GB + GC = G D$ , mà $G A + G D = 0$ .)

(Khi đó cũng đúng điều ngược lại: xem Bài 9.)

Tổng hợp lực, tổng hợp vận tốc

Hai lực cùng tác động vào chất điểm $A$ , biểu diễn bởi $u_{1}, u_{2}$ , thì hợp lực được biểu diễn bởi $u_{1} + u_{2}$ .
Thuyền có vận tốc riêng (so với dòng nước) $v_{r}$ , dòng nước có vận tốc (so với bờ) $v_{n}$ thì vận tốc thực tế của thuyền (so với bờ) là $v_{r} + v_{n}$ .

Ví dụ 4 – tình huống mở đầu (tàu qua sông) Hai bờ sông là hai đường thẳng song song

d_{1}, d_{2}

; tàu xuất phát từ

A \in d_{1}

, bánh lái giữ để tàu tạo với bờ góc

α

. Gọi

v_{r} = A M, v_{n} = MN

thì vận tốc thực tế

v = A N

. Tàu đi thẳng từ

A

đến

B

(giao của

A N

với

d_{2}

), thời gian sang sông bằng

\frac{A B}{A N} = \frac{A C}{A M}

(với

C

là giao của

A M

với

d_{2}

). Vì

A M = ∣ v_{r} ∣

không đổi nên thời gian nhỏ nhất

\Leftrightarrow A C

nhỏ nhất

\Leftrightarrow A C ⊥ d_{2} \Leftrightarrow A M ⊥ d_{2}

.
Kết luận: để sang bờ bên kia nhanh nhất, cần giữ bánh lái để tàu luôn vuông góc với bờ.

Vận dụng – kéo pháo lên dốc Pháo nặng 22 148 N trên dốc nghiêng 30°. Coi pháo chịu ba lực: trọng lực

P (∣ P ∣ = 22148

N, hướng xuống), phản lực

w (∣ w ∣ = ∣ P ∣ cos 30°

, vuông góc mặt dốc, hướng lên) và lực kéo

F

theo phương dốc. Mỗi người kéo 100 N; sách yêu cầu tính số người tối thiểu cần để kéo.

Mô phỏng tương tác: tổng và hiệu của hai vectơ

Kéo các điểm để kiểm chứng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hiệu và các đẳng thức trung điểm, trọng tâm.

Mô phỏngQuy tắc ba điểm, hình bình hành, quy tắc hiệu

Mở ở trang riêng ↗

Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

2. Hiệu của hai vectơ

3. Trung điểm, trọng tâm và ứng dụng vật lí

Mô phỏng tương tác: tổng và hiệu của hai vectơ

Sơ đồ tư duy