Bài 9. Tích của một vectơ với một số

Chương IV. Vectơ

1. Tích của một vectơ với một số

Định nghĩa Tích của vectơ

a \neq = 0

với số thực

k

là một vectơ, kí hiệu

k a

, xác định bởi:

$k > 0 : k a$ cùng hướng với $a$ và có độ dài bằng $k ∣ a ∣$ ;
$k < 0 : k a$ ngược hướng với $a$ và có độ dài bằng $(- k) ∣ a ∣$ .

Chú ý: quy ước

k a = 0

nếu

a = 0

hoặc

k = 0

.
Nhận xét:

k a

có độ dài

∣ k ∣∣ a ∣

; cùng hướng với

a

nếu

k \geq 0 (a \neq = 0)

và ngược hướng nếu

k < 0

. Đặc biệt

1 a = a

và

(- 1) a = - a

Ví dụ Hai trung tuyến

A M, BN

của tam giác

A BC

cắt nhau tại

G : G A = - 2 GM, MN = - \frac{1}{2} A B

Điều kiện cùng phương (Ví dụ 1) Hai vectơ

a

và

b (b \neq = 0)

cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số

k

để

a = k b

.
(Chứng minh chiều ngược lại: lấy

k = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}

nếu cùng hướng;

k = - \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}

nếu ngược hướng.)

Hệ quả với đường thẳng Với đường thẳng

d

đi qua hai điểm phân biệt

A, B

: điểm

M

thuộc

d

khi và chỉ khi tồn tại số

t

để

A M = t A B; M

thuộc tia đối của tia

A B

khi và chỉ khi tồn tại

t \leq 0

thoả

A M = t A B

2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số

Tính chất Với hai vectơ

a, b

và hai số thực

k, t

$k (t a) = (k t) a$ ;
$(k + t) a = k a + t a$ ;
$k (a + b) = k a + k b; k (a - b) = k a - k b$ ;
$1 a = a; (- 1) a = - a$ .

Trung điểm – trọng tâm

Ví dụ 2: $I$ là trung điểm $A B$ thì với điểm $O$ tuỳ ý: $O A + OB = 2 O I$ .
Luyện tập 2: $G$ là trọng tâm tam giác $A BC$ thì với $O$ tuỳ ý: $O A + OB + OC = 3 OG$ .

Nhận xét:

I

là trung điểm của

A B \Leftrightarrow I A + I B = 0; G

là trọng tâm tam giác

A BC \Leftrightarrow G A + GB + GC = 0

Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương Cho hai vectơ

a, b

không cùng phương. Khi đó mọi vectơ

u

đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo

a, b

, nghĩa là có duy nhất cặp số

(x; y)

sao cho

u = x a + y b

Ví dụ 3 – điểm khối tâm Cho tam giác

A BC

. Xác định

M

để

M A + 3 MB + 2 MC = 0

.
Chen điểm

A : M A + 3 (M A + A B) + 2 (M A + A C) = 0 \Leftrightarrow 6 M A + 3 A B + 2 A C = 0 \Leftrightarrow A M = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{3} A C

.
Lấy

E

là trung điểm

A B, F

thuộc cạnh

A C

với

A F = \frac{1}{3} A C

thì

A M = A E + A F

, tức

M

là đỉnh thứ tư của hình bình hành

E A FM

.
Điểm khối tâm

M

của hệ chất điểm

A_{1}, \dots, A_{n}

ứng với khối lượng

m_{1}, \dots, m_{n}

được xác định bởi đẳng thức vectơ

m_{1} M A_{1} + \dots + m_{n} M A_{n} = 0

Mô phỏng tương tác: tích của một vectơ với một số

Thay đổi số k để quan sát vectơ k nhân vectơ, điều kiện ba điểm thẳng hàng, trung điểm, trọng tâm và phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.

Mô phỏngTích vectơ với một số, ba điểm thẳng hàng, phân tích vectơ

Mở ở trang riêng ↗

Bài 9. Tích của một vectơ với một số

1. Tích của một vectơ với một số

2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số

Mô phỏng tương tác: tích của một vectơ với một số

Sơ đồ tư duy