Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng toạ độ

Chương IV. Vectơ

1. Toạ độ của vectơ

Trục toạ độ Trục toạ độ (trục số) là đường thẳng trên đó đã xác định điểm

O

(gốc toạ độ) và vectơ

i

có độ dài bằng 1 (vectơ đơn vị của trục). Điểm

M

biểu diễn số

x_{0}

nếu

OM = x_{0} i

Hệ trục toạ độ

O x y

Hai trục

O x, O y

có chung gốc

O

và vuông góc nhau; vectơ đơn vị của

O x

là

i

, của

O y

là

j . O

là gốc toạ độ,

O x

là trục hoành,

O y

là trục tung; mặt phẳng chứa hệ trục là mặt phẳng toạ độ $O x y$ .
Với mỗi vectơ

u

có duy nhất cặp số

(x_{0}; y_{0})

sao cho

u = x_{0} i + y_{0} j

. Ta nói

u

có toạ độ

(x_{0}; y_{0})

, viết

u = (x_{0}; y_{0})

hay

u (x_{0}; y_{0}); x_{0}

là hoành độ,

y_{0}

là tung độ của

u

Hai vectơ bằng nhau

u (x; y) = v (x^{'}; y^{'}) \Leftrightarrow x = x^{'}

và

y = y^{'}

.
Ví dụ 1:

i = (1; 0), j = (0; 1), 0 = (0; 0)

2. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Công thức Cho

u = (x; y)

và

v = (x^{'}; y^{'})

. Khi đó:

$u + v = (x + x^{'}; y + y^{'})$ ;
$u - v = (x - x^{'}; y - y^{'})$ ;
$k u = (k x; k y)$ , với $k \in R$ .

Cùng phương Vectơ

v (x^{'}; y^{'})

cùng phương với

u (x; y) \neq = 0

khi và chỉ khi tồn tại số

k

sao cho

x^{'} = k x, y^{'} = k y

(hay

\frac{x ^{'}}{x} = \frac{y ^{'}}{y}

nếu

x y \neq = 0

Ví dụ 2

a = (1; 2), b = (\frac{3}{2}; 3) : a + b = (\frac{5}{2}; 5); 2 b = (3; 6)

nên

a - 2 b = (- 2; - 4); \frac{3}{2} a = b

nên hai vectơ cùng phương.

3. Độ dài vectơ, khoảng cách, trung điểm, trọng tâm

Độ dài và khoảng cách

Nếu $M (x; y)$ thì $OM = (x; y)$ và $∣ OM ∣ = x^{2} + y^{2}$ . Do đó với $u = (x; y)$ thì $∣ u ∣ = x^{2} + y^{2}$ . (Ví dụ: $u = (2; - 1)$ có $∣ u ∣ = 5$ .)
Với $M (x; y), N (x^{'}; y^{'}) : MN = (x^{'} - x; y^{'} - y)$ và khoảng cách $MN = ∣ MN ∣ = (x^{'} - x)^{2} + (y^{'} - y)^{2}$ .

Toạ độ trung điểm, trọng tâm

Trung điểm $M$ của $A B : M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ .
Trọng tâm $G$ của tam giác $A BC : G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})$ .

Ví dụ 3

A (1; - 2), B (3; 2), C (7; 4) : A B = (2; 4), BC = (4; 2); A B = BC = 25

. Vì

\frac{2}{4} \neq = \frac{4}{2}

nên

A B, BC

không cùng phương

\Rightarrow A, B, C

không thẳng hàng.

A BC D

là hình thoi

\Leftrightarrow A D = BC \Leftrightarrow (x - 1; y + 2) = (4; 2) \Leftrightarrow D (5; 0)

Ví dụ 4

A (1; 3), B (- 2; 6), C (5; 1)

: trung điểm

I

của

A B

là

(- \frac{1}{2}; \frac{9}{2})

; trọng tâm

G

của tam giác

A BC

là

(\frac{4}{3}; \frac{10}{3})

Vận dụng – tình huống cơn bão (do người biên soạn tính) Tâm bão di chuyển thẳng đều trong 12 giờ từ

A (13, 8; 108, 3)

tới

B (14, 1; 106, 3)

. Sách gợi ý: gọi

M (x; y)

là vị trí sau 9 giờ, tìm mối liên hệ giữa

A M

và

A B

rồi chuyển sang toạ độ. Ở đây

A M = \frac{9}{12} A B = \frac{3}{4} (0, 3; - 2)

nên

M (14, 025; 106, 8)

. (Đáp số này sách không in sẵn.)

Mô phỏng tương tác: toạ độ của vectơ

Kéo các điểm trên mặt phẳng toạ độ để quan sát toạ độ của vectơ, toạ độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số, trung điểm, trọng tâm và điều kiện hai vectơ cùng phương.

Mô phỏngToạ độ của vectơ, các phép toán, trung điểm, trọng tâm, cùng phương

Mở ở trang riêng ↗

Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng toạ độ

1. Toạ độ của vectơ

2. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

3. Độ dài vectơ, khoảng cách, trung điểm, trọng tâm

Mô phỏng tương tác: toạ độ của vectơ

Sơ đồ tư duy