Bài 14. Các số đặc trưng đo độ phân tán

Chương V. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm

1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên Khoảng biến thiên, kí hiệu

R

, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu.
Ý nghĩa: đo độ phân tán của mẫu; khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu càng phân tán.
Nhận xét: đơn giản, dễ tính nhưng chỉ dùng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nên rất dễ bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.

Ví dụ 1 Điểm Toán Tổ 1: 7 8 8 9 8 8 8 (trung bình

8, R_{1} = 9 - 7 = 2

); Tổ 2: 10 6 8 9 9 7 8 7 8 (trung bình

8, R_{2} = 10 - 6 = 4) . R_{2} > R_{1}

nên Tổ 1 học đều hơn.

Khoảng tứ phân vị Khoảng tứ phân vị, kí hiệu

Δ_{Q}

, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và thứ nhất:

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}

.
Về bản chất là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa; càng lớn thì mẫu càng phân tán. (Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên là biên độ, khoảng tứ phân vị là độ trải giữa.)

Ví dụ 2 Số ghế trống 9 ngày:

78111315181920 22. Q_{2} = 15; Q_{1} = (8 + 11) : 2 = 9, 5; Q_{3} = (19 + 20) : 2 = 19, 5 \Rightarrow Δ_{Q} = 19, 5 - 9, 5 = 10

2. Phương sai và độ lệch chuẩn

Định nghĩa Với mẫu

x_{1}, \dots, x_{n}

và số trung bình

\overline{x}

, độ lệch của

x_{i}

so với trung bình là

x_{i} - \overline{x}

Phương sai: $s^{2} = \frac{( x _{1} - x ) ^{2} + ( x _{2} - x ) ^{2} + \dots + ( x _{n} - x ) ^{2}}{n}$ .
Độ lệch chuẩn: căn bậc hai của phương sai, $s = s^{2}$ .

Ý nghĩa: phương sai hoặc độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán; chúng dùng thông tin của tất cả các giá trị trong mẫu.
Chú ý: người ta còn dùng đại lượng với mẫu số

n - 1

thay cho

n

để đo độ phân tán.

Ví dụ 3 Sĩ số 5 lớp:

43454641 40. \overline{x} = 43

; bình phương độ lệch: 0, 4, 9, 4, 9, tổng 26. Phương sai

s^{2} = \frac{26}{5} = 5, 2

; độ lệch chuẩn

s = 5, 2 \approx 2, 28

3. Phát hiện số liệu bất thường bằng biểu đồ hộp

Giá trị bất thường Giá trị quá lớn hoặc quá bé so với đa số các giá trị khác gọi là giá trị bất thường (có thể do nhầm lẫn hay sai sót). Dùng biểu đồ hộp để phát hiện.

Tiêu chí Giá trị lớn hơn

Q_{3} + 1, 5 \cdot Δ_{Q}

hoặc bé hơn

Q_{1} - 1, 5 \cdot Δ_{Q}

được xem là giá trị bất thường.
Biểu đồ hộp gồm hình hộp từ

Q_{1}

đến

Q_{3}

với vạch ở

Q_{2}

, hai đoạn râu kéo tới các giá trị không bất thường xa nhất; các giá trị bất thường vẽ thành các chấm riêng.

Ví dụ 4 (natri trong ngũ cốc)

Q_{1} = 135, Q_{3} = 205 \Rightarrow Δ_{Q} = 70. Q_{1} - 1, 5 Δ_{Q} = 30

và

Q_{3} + 1, 5 Δ_{Q} = 310

nên hai giá trị bất thường là 340 mg (lớn hơn 310) và 0 mg (bé hơn 30).

Mô phỏng tương tác: các số đặc trưng đo độ phân tán

Kéo các chấm của mẫu số liệu để quan sát khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn, biểu đồ hộp và giá trị bất thường.

Mô phỏngKhoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, biểu đồ hộp

Mở ở trang riêng ↗

Bài 14. Các số đặc trưng đo độ phân tán

1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

2. Phương sai và độ lệch chuẩn

3. Phát hiện số liệu bất thường bằng biểu đồ hộp

Mô phỏng tương tác: các số đặc trưng đo độ phân tán

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chương V