Bài 16. Hàm số bậc hai

Chương VI. Hàm số, đồ thị và ứng dụng

1. Khái niệm hàm số bậc hai

Tình huống mở đầu Bác Việt có tấm lưới chữ nhật dài 20 m, rào ba mặt áp vào bờ tường thành mảnh đất chữ nhật. Hai cột góc hàng rào cách bờ tường

x (m)

thì cạnh

PQ = 20 - 2 x

và diện tích

S (x) = - 2 x^{2} + 20 x (0 < x < 10)

. Hỏi

x

bằng bao nhiêu để diện tích lớn nhất?

Định nghĩa Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức

y = a x

+ b x + c

, trong đó

x

là biến số,

a, b, c

là các hằng số và $a \neq = 0$ . Tập xác định của hàm số bậc hai là

R

.
Nhận xét: hàm số

y = a x^{2} (a \neq = 0)

đã học ở lớp 9 là trường hợp đặc biệt với

b = c = 0

Ví dụ 1

y = - 2 x^{2} + 20 x

: bảng giá trị tại

x = 0; 2; 4; 5; 6; 8; 10

là

y = 0; 32; 48; 50; 48; 32; 0

2. Đồ thị của hàm số bậc hai

Dạng chính tắc Với

Δ = b^{2} - 4 a c

y = a x

+ b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a}

.
Điểm

I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})

thuộc đồ thị và đóng vai trò như gốc

O

của

y = a x^{2}

: nếu

a > 0

thì

I

là điểm thấp nhất; nếu

a < 0

thì

I

là điểm cao nhất của đồ thị. Đồ thị được suy ra từ parabol

y = a x^{2}

bằng cách “dịch chuyển” theo vectơ

O I

Đồ thị – parabol Đồ thị hàm số

y = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)

là một đường parabol có:

đỉnh $I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$ ;
trục đối xứng là đường thẳng $x = - \frac{b}{2 a}$ ;
bề lõm quay lên trên nếu $a > 0$ , quay xuống dưới nếu $a < 0$ .

Các bước vẽ parabol

y = a x^{2} + b x + c

Xác định toạ độ đỉnh $I (- \frac{b}{2 a}; - \frac{Δ}{4 a})$ ;
Xác định trục đối xứng $x = - \frac{b}{2 a}$ ;
Xác định toạ độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và một vài điểm đặc biệt (chẳng hạn điểm đối xứng qua trục đối xứng);
Vẽ parabol.

Ví dụ 2 Vẽ

y = - 2 x^{2} - 2 x + 4 : a = - 2 < 0

nên quay bề lõm xuống; đỉnh

I (- \frac{1}{2}; \frac{9}{2})

; trục đối xứng

x = - \frac{1}{2}

; giao trục

O y

tại

A (0; 4)

, điểm đối xứng

B (- 1; 4)

; giao trục

O x

tại

x = 1

và

x = - 2

. Hàm số đồng biến trên

(- \infty; - \frac{1}{2})

, nghịch biến trên

(- \frac{1}{2}; + \infty)

, giá trị lớn nhất bằng

\frac{9}{2}

khi

x = - \frac{1}{2}

3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

Nhận xét – tính chất

$a > 0$	$a < 0$
Nghịch biến trên $(- \infty; - \frac{b}{2 a})$ , đồng biến trên $(- \frac{b}{2 a}; + \infty)$ . $- \frac{Δ}{4 a}$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số.	Đồng biến trên $(- \infty; - \frac{b}{2 a})$ , nghịch biến trên $(- \frac{b}{2 a}; + \infty)$ . $- \frac{Δ}{4 a}$ là giá trị lớn nhất của hàm số.

Giải bài toán mở đầu và vận dụng

$S (x) = - 2 (x - 5)^{2} + 50 \leq 50$ , dấu bằng khi $x = 5$ : hai cột góc cách bờ tường 5 m thì diện tích lớn nhất, bằng 50 m².
Vận dụng 1: bi rơi từ độ cao 19,6 m: $h = 19, 6 - 4, 9 t^{2}$ ; chạm đất khi $h = 0 \Leftrightarrow t = 2$ giây. (Kết quả do người biên soạn tính.)
Vận dụng 2 (cầu vượt ba tầng Huế): chọn hệ trục có một chân trụ ở gốc, chân còn lại trên $O x$ (cách 27 m) nên trụ tháp có dạng $y = a x^{2} + b x$ đi qua $(27; 0)$ và $(2, 26; 20)$ . (Người biên soạn tính được độ cao đỉnh khoảng 65,2 m; sách chỉ cho hướng dẫn, không in đáp số.)

Em có biết – các mô hình dùng hàm số bậc hai Chuyển động thẳng biến đổi đều

x = x_{0} + v_{0} t + \frac{a t ^{2}}{2}

; vật ném lên theo phương thẳng đứng

y (t) = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}

(rơi tự do:

y (t) = y_{0} - \frac{1}{2} g t^{2}

); vật ném xiên có quỹ đạo là parabol; doanh thu bán hàng

R (x) = x (a - b x) = a x - b x^{2}

là hàm bậc hai của đơn giá

x

Mô phỏng tương tác: đồ thị hàm số bậc hai

Thay đổi các hệ số a, b, c để quan sát đỉnh, trục đối xứng, bề lõm, bảng biến thiên của parabol và các bài toán thực tế.

Mô phỏngĐồ thị hàm số bậc hai, đỉnh, trục đối xứng

Mở ở trang riêng ↗

Bài 16. Hàm số bậc hai

1. Khái niệm hàm số bậc hai

2. Đồ thị của hàm số bậc hai

3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

Mô phỏng tương tác: đồ thị hàm số bậc hai

Sơ đồ tư duy