Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai

Chương VI. Hàm số, đồ thị và ứng dụng

1. Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai (đối với

x

) là biểu thức có dạng

a x^{2} + b x + c

, trong đó

a, b, c

là những số thực cho trước (với

a \neq = 0

), gọi là các hệ số của tam thức. Thường viết

f (x) = a x^{2} + b x + c

.
Chú ý: nghiệm của phương trình bậc hai

a x^{2} + b x + c = 0

cũng gọi là nghiệm của tam thức;

Δ = b^{2} - 4 a c

và

Δ^{'} = b^{' 2} - a c

(với

b = 2 b^{'}

) là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức.

Định lí về dấu của tam thức bậc hai Cho

f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)

Nếu $Δ < 0$ thì $f (x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in R$ .
Nếu $Δ = 0$ thì $f (x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x \neq = - \frac{b}{2 a}$ và $f (- \frac{b}{2 a}) = 0$ .
Nếu $Δ > 0$ thì $f (x)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1} < x_{2}; f (x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x \in (- \infty; x_{1}) \cup (x_{2}; + \infty)$ và trái dấu với $a$ với mọi $x \in (x_{1}; x_{2})$ .

Mẹo nhớ: khi

Δ > 0

, dấu của

f (x)

và

a

là “trong trái, ngoài cùng”. Có thể thay

Δ

bởi

Δ^{'}

.
Hình học:

a > 0

và

Δ < 0

thì đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục

O x; Δ = 0

thì đồ thị tiếp xúc

O x

tại

x = - \frac{b}{2 a}; Δ > 0

thì cắt

O x

tại hai điểm

x_{1}, x_{2}

(đồ thị phía trên

O x

khi

x < x_{1}

hoặc

x > x_{2}

và phía dưới khi

x_{1} < x < x_{2}

). Trường hợp

a < 0

thì ngược lại.

Ví dụ 1 a)

x^{2} + x + 1

có

Δ = - 3 < 0, a = 1 > 0 \Rightarrow

luôn dương trên

R

. b)

- \frac{3}{2} x^{2} + 9 x - \frac{27}{2}

có

Δ = 0, a < 0 \Rightarrow

nghiệm kép

x = 3

và luôn âm với mọi

x \neq = 3

. c)

2 x^{2} + 6 x - 8

có hai nghiệm

x_{1} = - 4, x_{2} = 1, a = 2 > 0 \Rightarrow

dương trên

(- \infty; - 4) \cup (1; + \infty)

, âm trên

(- 4; 1)

2. Bất phương trình bậc hai

Định nghĩa

Bất phương trình bậc hai ẩn $x$ là bất phương trình có dạng $a x^{2} + b x + c > 0$ (hoặc $\geq 0, < 0, \leq 0$ ), trong đó $a, b, c$ là những số thực đã cho và $a \neq = 0$ .
Số thực $x_{0}$ là một nghiệm nếu $a x_{0}^{2} + b x_{0} + c > 0$ ; tập hợp tất cả các nghiệm gọi là tập nghiệm.
Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập nghiệm của nó.

Cách giải Xét dấu tam thức

a x^{2} + b x + c

(tìm nghiệm nếu có, lập bảng xét dấu theo định lí về dấu), từ đó suy ra tập nghiệm.

Ví dụ 2, 3 a)

3 x^{2} + x + 5 \leq 0 : Δ = - 59 < 0, a > 0 \Rightarrow

vô nghiệm. b)

- 3 x^{2} + 23 x - 1 \geq 0 : Δ^{'} = 0, a < 0 \Rightarrow

nghiệm duy nhất

x = \frac{3}{3}

. c)

- x^{2} + 2 x + 1 > 0

: nghiệm

1 - 2; 1 + 2, a = - 1 < 0 \Rightarrow

tập nghiệm

(1 - 2; 1 + 2)

.
Bài toán rào vườn:

2 x^{2} - 20 x + 48 \leq 0

có nghiệm

4; 6, a = 2 > 0 \Rightarrow

tập nghiệm

[4; 6]

. Vậy khoảng cách từ cột đến bờ tường trong

[4; 6] m

thì diện tích mảnh đất không nhỏ hơn 48 m².

Tìm hiểu thêm – máy tính cầm tay; Vận dụng Máy tính có chế độ giải bất phương trình bậc hai: bấm Mode,

↓, 1, 1

, chọn một trong bốn dạng bất phương trình bậc hai rồi nhập hệ số

a, b, c

. Ví dụ

2 x^{2} - 3 x - 6 \leq 0

cho tập nghiệm

[\frac{3 - 57}{4}; \frac{3 + 57}{4}]

.
Vận dụng: quả bóng ném thẳng đứng có độ cao

h (t) = - 4, 9 t^{2} + 20 t + 1

; muốn

h > 5

ta giải

- 4, 9 t^{2} + 20 t - 4 > 0

. (Người biên soạn tính: khoảng 0,21 s đến 3,87 s sau khi ném; sách không in đáp số.)

Mô phỏng tương tác: dấu của tam thức bậc hai

Quan sát dấu của tam thức theo đồ thị, bảng xét dấu theo Δ và tập nghiệm của bất phương trình bậc hai.

Mô phỏngDấu tam thức, bảng xét dấu, bất phương trình bậc hai

Mở ở trang riêng ↗

Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai

1. Dấu của tam thức bậc hai

2. Bất phương trình bậc hai

Mô phỏng tương tác: dấu của tam thức bậc hai

Sơ đồ tư duy