Bài 19. Phương trình đường thẳng

Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Vectơ pháp tuyến Vectơ

n

khác

0

gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Δ

nếu giá của nó vuông góc với

Δ

Nếu $n$ là vectơ pháp tuyến của $Δ$ thì $k n (k \neq = 0)$ cũng là vectơ pháp tuyến của $Δ$ .
Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Ví dụ 1 Tam giác

A BC

có

A (3; 1), B (4; 0), C (5; 3)

. Đường trung trực của

A B

vuông góc với

A B

nên có vectơ pháp tuyến

A B (1; - 1)

; đường cao kẻ từ

A

vuông góc với

BC

nên có vectơ pháp tuyến

BC (1; 3)

Phương trình tổng quát Đường thẳng

Δ

đi qua

A (x_{0}; y_{0})

, có vectơ pháp tuyến

n (a; b)

: điểm

M (x; y)

thuộc

Δ \Leftrightarrow A M ⊥ n \Leftrightarrow a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0

. Đặt

c = - a x_{0} - b y_{0}

, ta có phương trình tổng quát:

a x + b y + c = 0

(với

a, b

không đồng thời bằng 0), nhận

n (a; b)

là một vectơ pháp tuyến.
Ngược lại, mỗi phương trình dạng trên đều là phương trình của một đường thẳng.

Ví dụ 2, 3 Đường thẳng qua

A (2; 1)

, vectơ pháp tuyến

n (3; 4) : 3 (x - 2) + 4 (y - 1) = 0

hay

3 x + 4 y - 10 = 0

.
Đường thẳng qua

A (0; b)

với vectơ pháp tuyến

n (a; - 1) : a (x - 0) - 1 (y - b) = 0

hay

a x - y + b = 0

, tức

y = a x + b

. Vậy đồ thị hàm số $y = a x + b$ chính là một đường thẳng.

Nhận xét Cho

Δ : a x + b y + c = 0

Nếu $b = 0$ : đưa về dạng $x = m$ (với $m = - \frac{c}{a}), Δ$ vuông góc với $O x$ .
Nếu $b \neq = 0$ : đưa về dạng $y = n x + p$ (với $n = - \frac{a}{b}, p = - \frac{c}{b}$ ).

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Vectơ chỉ phương Vectơ

u

khác

0

gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng

Δ

nếu giá của nó song song hoặc trùng với

Δ

Nếu $u$ là vectơ chỉ phương của $Δ$ thì $k u (k \neq = 0)$ cũng là vectơ chỉ phương của $Δ$ .
Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.
Vectơ $n (a; b)$ vuông góc với $u (- b; a)$ và $v (b; - a)$ ; do đó nếu $n$ là vectơ pháp tuyến của $Δ$ thì $u, v$ là các vectơ chỉ phương của $Δ$ và ngược lại.

Phương trình tham số Đường thẳng

Δ

đi qua

A (x_{0}; y_{0})

, có vectơ chỉ phương

u (a; b)

: điểm

M (x; y)

thuộc

Δ \Leftrightarrow

tồn tại số thực

t

sao cho

A M = t u

, tức:

x = x_{0} + a t, y = y_{0} + b t (t

là tham số).
Hệ này gọi là phương trình tham số của

Δ

Ví dụ 4, 5, 6

A (3; 2), B (1; - 4)

: đường thẳng

A B

có vectơ chỉ phương

A B (- 2; - 6)

và cũng có

u = - \frac{1}{2} A B = (1; 3)

.
Đường thẳng qua

A (2; - 3), u (4; - 1) : x = 2 + 4 t, y = - 3 - t

.
Đường thẳng qua

A (2; 3), B (1; 5) : A B = (- 1; 2)

, có phương trình tham số

x = 2 - t, y = 3 + 2 t

Vận dụng – đổi độ C sang độ

F

(do người biên soạn tính) Điểm

M (a; b)

thuộc đường thẳng qua

A (0; 32)

và

B (100; 212)

: vectơ chỉ phương

A B = (100; 180) ∥ (5; 9)

, nên

b = 32 + 1, 8 a

. Suy ra 0 °F ứng với

- \frac{160}{9} \approx - 17, 8 ° C; 100 °

F ứng với

\frac{340}{9} \approx 37, 8 °

C. (Sách chỉ nêu đề, không in đáp số.)
Em có biết: hồi quy tuyến tính dùng đường thẳng

y = a x + b

biểu thị gần đúng quan hệ giữa hai đại lượng thống kê;

a, b

chọn sao cho tổng bình phương khoảng cách (theo phương dọc) từ các điểm dữ liệu tới đường thẳng là nhỏ nhất. Không phải mô hình nào cũng hợp với đường thẳng (ví dụ quỹ đạo tên lửa là parabol).

Mô phỏng tương tác: phương trình đường thẳng

Kéo điểm và vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương để lập phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng.

Mô phỏngVectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương, phương trình đường thẳng

Mở ở trang riêng ↗

Bài 19. Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Mô phỏng tương tác: phương trình đường thẳng

Sơ đồ tư duy