Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Dùng hệ phương trình Xét

Δ_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0

và

Δ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0

. Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ (*) gồm hai phương trình:

$Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ tại $M (x_{0}; y_{0}) \Leftrightarrow$ hệ (*) có nghiệm duy nhất $(x_{0}; y_{0})$ ;
$Δ_{1}$ song song $Δ_{2} \Leftrightarrow$ hệ (*) vô nghiệm;
$Δ_{1}$ trùng $Δ_{2} \Leftrightarrow$ hệ (*) có vô số nghiệm.

Dùng vectơ chỉ phương, pháp tuyến

$Δ_{1}, Δ_{2}$ song song hoặc trùng nhau $\Leftrightarrow u_{1}, u_{2}$ cùng phương $\Leftrightarrow n_{1}, n_{2}$ cùng phương.
$Δ_{1}, Δ_{2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow u_{1}, u_{2}$ không cùng phương $\Leftrightarrow n_{1}, n_{2}$ không cùng phương.
Khi cùng phương: nếu hai đường thẳng có điểm chung thì trùng nhau; nếu tồn tại điểm thuộc $Δ_{1}$ mà không thuộc $Δ_{2}$ thì $Δ_{1}$ song song $Δ_{2}$ .

Ví dụ 1

Δ : x - 2 y + 43 = 0

. Nhân hai vế với

3

được

3 x - 6 y + 12 = 0

, trùng

Δ_{1} \Rightarrow Δ

trùng

Δ_{1}

. Vectơ pháp tuyến

n (1; - 2)

và

n_{2} (2; - 2)

cùng phương; điểm

O (0; 0)

thuộc

Δ_{2}

nhưng không thuộc

Δ \Rightarrow Δ

song song

Δ_{2}

2. Góc giữa hai đường thẳng

Định nghĩa Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc; số đo của góc không tù gọi là số đo góc (hay góc) giữa hai đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng 0°.

Công thức tính góc

φ

giữa

Δ_{1}

và

Δ_{2}

Với vectơ pháp tuyến

n_{1} (a_{1}; b_{1}), n_{2} (a_{2}; b_{2})

cos φ = ∣ cos (n_{1}, n_{2}) ∣ = \frac{∣ a _{1} a _{2} + b _{1} b _{2} ∣}{a _{1}^{2} + b _{1}^{2} \cdot a _{2}^{2} + b _{2}^{2}}

$Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow n_{1} ⊥ n_{2} \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0$ .
Nếu dùng vectơ chỉ phương $u_{1}, u_{2}$ thì cũng có $cos φ = ∣ cos (u_{1}, u_{2}) ∣$ .

Ví dụ 2, 3

Δ_{1} : 3 x - y + 2 = 0, Δ_{2} : x - 3 y - 2 = 0 : n_{1} = (3; - 1), n_{2} = (1; - 3) \Rightarrow cos φ = \frac{∣ 3 + 3 ∣}{2 \cdot 2} = \frac{3}{2} \Rightarrow φ = 30°

Δ_{1} : x = 3 (n_{1} (1; 0))

và

Δ_{2}

có vectơ chỉ phương

(- 1; 1)

nên

n_{2} (1; 1) : cos φ = \frac{1}{2} \Rightarrow φ = 45°

Luyện tập 4 – ý nghĩa hệ số góc Với

Δ : y = a x + b (a \neq = 0), Δ

cắt trục

O x

; gọi

α_{Δ}

là số đo góc

x A z

(tia

A z

nằm phía trên trục hoành). Qua bài tập này sách cho thấy

tan α_{Δ} = a

(hệ số góc là tang của góc tạo bởi đường thẳng và trục hoành).

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Công thức Cho

M (x_{0}; y_{0})

và

Δ : a x + b y + c = 0

. Khoảng cách từ

M

đến

Δ

, kí hiệu

d (M, Δ)

d (M, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

.
(Gọi

H

là hình chiếu của

M

trên

Δ

thì

∣ n \cdot H M ∣ = a^{2} + b^{2} \cdot H M

và

n \cdot H M = a x_{0} + b y_{0} + c

Ví dụ 4

M (2; 4), Δ : 3 x + 4 y - 12 = 0 : d (M, Δ) = \frac{∣3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 - 12∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{10}{5} = 2

Em có biết – GeoGebra Phần mềm GeoGebra tự xác định toạ độ điểm, phương trình đường thẳng qua hai điểm (ví dụ

A (2; 4), B (- 4; 1)

cho

x - 2 y + 6 = 0

) và khoảng cách từ

C (3; - 2)

tới

A B (5, 81)

; cơ sở toán học là các công thức của bài này.
Vận dụng (ao cá): chọn hệ trục

O x y

với

O \equiv B, O x \equiv

tia

BC, O y \equiv

tia

B A (1

đơn vị

= 1

m), ao

A BC D

có

A D = 15, A B = 12

, phần tam giác

D EF

là nơi nuôi vịt

(A E = 5, CF = 6)

; xác định toạ độ các điểm, viết phương trình

EF

rồi so sánh khoảng cách từ

B

tới

EF

với 10,7 m để biết lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không. (Sách chỉ nêu đề.)

Mô phỏng tương tác: vị trí tương đối, góc và khoảng cách

Kéo hai đường thẳng và một điểm để xét vị trí tương đối, tính góc giữa hai đường thẳng và khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Mô phỏngVị trí tương đối, góc, khoảng cách

Mở ở trang riêng ↗

Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

2. Góc giữa hai đường thẳng

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Mô phỏng tương tác: vị trí tương đối, góc và khoảng cách

Sơ đồ tư duy