Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. Đường tiệm cận ngang

Định nghĩa Đường thẳng

y = y_{0}

là tiệm cận ngang của đồ thị

y = f (x)

nếu

$x \to + \infty lim f (x) = y_{0}$ hoặc $x \to - \infty lim f (x) = y_{0}$

Đồ thị có thể có tối đa hai tiệm cận ngang.

Ví dụ

f (x) = \frac{3 x - 2}{x + 1} : lim_{x \to \pm \infty} f = 3 \Rightarrow

tiệm cận ngang

y = 3

f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x} : lim_{x \to + \infty} = 1; lim_{x \to - \infty} = - 1 \Rightarrow

hai tiệm cận ngang

y = 1

và

y = - 1

Mẹo tính giới hạn Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của

x

. Khi

x \to - \infty

chú ý

x^{2} = ∣ x ∣ = - x

. Khi bậc tử < bậc mẫu: tiệm cận

y = 0

; bằng nhau:

y =

tỉ số hệ số bậc cao nhất.

2. Đường tiệm cận đứng

Định nghĩa Đường thẳng

x = x_{0}

là tiệm cận đứng của đồ thị

y = f (x)

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

$x \to x_{0}^{+} lim f = + \infty; x \to x_{0}^{+} lim f = - \infty; x \to x_{0}^{-} lim f = + \infty; x \to x_{0}^{-} lim f = - \infty$

Tiệm cận ngang

y = 2

và tiệm cận đứng

x = 0

Ví dụ

f (x) = \frac{3 - x}{x + 2} : lim_{x \to (- 2)^{+}} f = + \infty, lim_{x \to (- 2)^{-}} f = - \infty \Rightarrow

tiệm cận đứng

x = - 2. f (x) = \frac{x ^{2} + 2}{x} \Rightarrow

tiệm cận đứng

x = 0

Lưu ý Tiệm cận đứng thường ở điểm làm mẫu bằng 0 mà tử khác 0 (nếu tử cũng bằng 0, rút gọn rồi xét lại). Ví dụ

C (p) = \frac{45 p}{100 - p}

: tiệm cận đứng

p = 100

nghĩa là chi phí tăng vô hạn khi muốn loại bỏ 100% tảo độc.

3. Đường tiệm cận xiên

Định nghĩa Đường thẳng

y = a x + b (a \neq = 0)

là tiệm cận xiên của đồ thị

y = f (x)

nếu

$x \to + \infty lim [f (x) - (a x + b)] = 0$ hoặc $x \to - \infty lim [f (x) - (a x + b)] = 0$

Tiệm cận xiên

y = x - 1

và tiệm cận đứng

x = - 1

Cách tìm hệ số

$a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x}; b = x \to \pm \infty lim [f (x) - a x]$

(

a \neq = 0

hữu hạn). Nếu

a = 0

thì đồ thị có tiệm cận ngang.

Cách nhanh với phân thức Chia đa thức:

f (x) = a x + b + \frac{r ( x )}{q ( x )}

với bậc

r <

bậc

q

thì

y = a x + b

là tiệm cận xiên.

Ví dụ

f (x) = x + \frac{1}{x + 2} : f - x \to 0 \Rightarrow

tiệm cận xiên

y = x

f (x) = \frac{x ^{2} - x + 2}{x + 1} = x - 2 + \frac{4}{x + 1} \Rightarrow

tiệm cận xiên

y = x - 2

(và tiệm cận đứng

x = - 1

Mô phỏng tương tác: đường tiệm cận

Kéo điểm M ra xa trên đồ thị và quan sát khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận đứng, ngang, xiên.

Mô phỏngTiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên

Mở ở trang riêng ↗

Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Đường tiệm cận ngang

2. Đường tiệm cận đứng

3. Đường tiệm cận xiên

Mô phỏng tương tác: đường tiệm cận

Sơ đồ tư duy