Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

Sơ đồ khảo sát hàm số

y = f (x)

Tìm tập xác định.
Khảo sát sự biến thiên:
- Tính $y^{'}$ ; tìm các điểm $y^{'} = 0$ hoặc không tồn tại.
- Xét dấu $y^{'} \Rightarrow$ các khoảng đơn điệu; tìm cực trị.
- Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận (nếu có).
- Lập bảng biến thiên.
Vẽ đồ thị dựa vào bảng biến thiên.

Chú ý khi vẽ Xác định thêm điểm đặc biệt: giao điểm với trục toạ độ (cho

x = 0, y = 0

nếu giải được), và xét tính đối xứng (tâm đối xứng, trục đối xứng) của đồ thị.

2. Khảo sát hàm đa thức bậc ba

Hàm số

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq = 0)

TXĐ $R; y^{'}$ là tam thức bậc hai: có hai nghiệm phân biệt thì có 2 cực trị; vô nghiệm hoặc nghiệm kép thì đơn điệu trên $R$ .
Giới hạn: $a > 0 \Rightarrow lim_{+ \infty} = + \infty, lim_{- \infty} = - \infty; a < 0$ ngược lại.
Không có tiệm cận; đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn, hoành độ thoả $y^{''} = 0$ , tức $x = - \frac{b}{3 a}$ .

Ví dụ 1

y = - x^{3} + 3 x^{2} - 4 : y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 2

$x$	$- \infty$		$0$		$2$		$+ \infty$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$y$	$+ \infty$	↘	$- 4$	↗	$0$	↘	$- \infty$

Cực tiểu

y_{CT} = - 4 (x = 0)

, cực đại

y_{C Đ} = 0 (x = 2)

. Giao trục tung

(0; - 4); y = 0 \Leftrightarrow x = - 1

hoặc

x = 2

(kép). Tâm đối xứng

(1; - 2)

Hàm bậc ba

a < 0

có hai cực trị

Ví dụ 2 – không có cực trị

y = x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 1 : y^{'} = 3 x^{2} - 4 x + 2 > 0

với mọi

x (Δ^{'} < 0) \Rightarrow

đồng biến trên

R

, không có cực trị; cắt trục hoành tại

(1; 0)

; tâm đối xứng

(\frac{2}{3}; - \frac{7}{27})

3. Khảo sát hàm phân thức hữu tỉ

y = \frac{a x + b}{c x + d} (c \neq = 0, a d - b c \neq = 0)

TXĐ $R ∖ {- \frac{d}{c}}; y^{'} = \frac{a d - b c}{( c x + d ) ^{2}}$ không đổi dấu $\Rightarrow$ hàm luôn đơn điệu trên từng khoảng, không có cực trị.
Tiệm cận đứng $x = - \frac{d}{c}$ ; tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$ .
Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai tiệm cận làm trục đối xứng.

Ví dụ 3

y = \frac{x + 1}{x - 2} : y^{'} = - \frac{3}{( x - 2 ) ^{2}} < 0

; tiệm cận đứng

x = 2

, tiệm cận ngang

y = 1

$x$	$- \infty$		$2$		$+ \infty$
$y^{'}$		$-$	$∥$	$-$
$y$	$1$	↘	$- \infty ∣ + \infty$	↘	$1$

Giao trục tung

(0; - \frac{1}{2})

, trục hoành

(- 1; 0)

; tâm đối xứng

I (2; 1)

Hàm

y =

(ax

+ b

)/(cx

+ d

): hai đường tiệm cận

y = \frac{a x ^{2} + b x + c}{p x + q} (a \neq = 0, p \neq = 0

, tử không chia hết cho mẫu) Chia đa thức để viết

y = m x + n + \frac{k}{p x + q}

. Đồ thị có tiệm cận đứng

x = - \frac{q}{p}

và tiệm cận xiên

y = m x + n

; tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận; thường có hai cực trị hoặc không có cực trị.

Ví dụ 4

y = \frac{x ^{2} - x - 1}{x - 2} = x + 1 + \frac{1}{x - 2} : y^{'} = \frac{x ^{2} - 4 x + 3}{( x - 2 ) ^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 1

hoặc

x = 3

$x$	$- \infty$		$1$		$2$		$3$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$	$∥$	$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$1$	↘	$- \infty ∣ + \infty$	↘	$5$	↗	$+ \infty$

Cực đại

y_{C Đ} = 1 (x = 1)

, cực tiểu

y_{CT} = 5 (x = 3)

; tiệm cận đứng

x = 2

, tiệm cận xiên

y = x + 1

; tâm đối xứng

I (2; 3)

Hàm phân thức bậc 2 / bậc 1: tiệm cận đứng và xiên

Ví dụ 5 – không có cực trị

y = \frac{x ^{2} + x - 2}{x + 1} = x - \frac{2}{x + 1} : y^{'} = 1 + \frac{2}{( x + 1 ) ^{2}} > 0 \Rightarrow

đồng biến trên từng khoảng, không có cực trị; tiệm cận đứng

x = - 1

, tiệm cận xiên

y = x

; giao trục tung

(0; - 2)

, trục hoành

(- 2; 0)

và

(1; 0)

Nhớ nhanh

Bậc ba: không tiệm cận, tâm đối xứng là điểm uốn.
$\frac{a x + b}{c x + d}$ : không cực trị, hai tiệm cận (đứng + ngang).
Bậc 2 / bậc 1: tiệm cận đứng + xiên; 0 hoặc 2 cực trị.

Mô phỏng tương tác: khảo sát và vẽ đồ thị

Chọn hàm bậc ba hoặc hàm phân thức, thay đổi hệ số và đi lần lượt từng bước khảo sát: cực trị, tiệm cận, giao điểm với các trục, tâm đối xứng, bảng biến thiên rồi đồ thị.

Mô phỏngCác bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Mở ở trang riêng ↗

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

1. Sơ đồ khảo sát hàm số

2. Khảo sát hàm đa thức bậc ba

3. Khảo sát hàm phân thức hữu tỉ

Mô phỏng tương tác: khảo sát và vẽ đồ thị

Sơ đồ tư duy