Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng

Tốc độ thay đổi Cho

y = f (x)

. Khi

x

thay đổi từ

x_{1}

đến

x_{2} : Δ x = x_{2} - x_{1}; Δ y = f (x_{2}) - f (x_{1})

Tốc độ thay đổi trung bình trên $[x_{1}; x_{2}] : \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$ .
Tốc độ thay đổi tức thời tại $x_{1}$ : giới hạn của tỉ số trên khi $Δ x \to 0$ , chính là đạo hàm $f^{'} (x_{1})$ .

Ý nghĩa của đạo hàm trong các lĩnh vực

Vật lí: $s (t)$ là vị trí $\Rightarrow$ vận tốc tức thời $v = s^{'} (t)$ ; gia tốc $a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t)$ .
Hoá học: $C (t)$ là nồng độ $\Rightarrow C^{'} (t)$ là tốc độ phản ứng tức thời.
Sinh học: $P (t)$ là số cá thể quần thể $\Rightarrow P^{'} (t)$ là tốc độ tăng trưởng tức thời.
Kinh tế: $C (x)$ là chi phí sản xuất $x$ đơn vị $\Rightarrow$ chi phí biên $C^{'} (x)$ xấp xỉ chi phí sản xuất thêm đơn vị thứ $x + 1$ .

Ví dụ 1 – vật ném thẳng đứng

h (t) = 2 + 24, 5 t - 4, 9 t^{2}

. Vận tốc

v = h^{'} = 24, 5 - 9, 8 t \Rightarrow v (2) = 4, 9

s

. Độ cao lớn nhất khi

t = \frac{24 , 5}{9 , 8} = 2, 5

h = 32, 625

m. Chạm đất khi

h = 0 \Rightarrow t \approx 5, 08

s, vận tốc lúc chạm đất

\approx - 25, 284

s

(dấu âm: chuyển động ngược chiều dương, hướng xuống).

Ví dụ 2 – quần thể nấm men

P (t) = \frac{a}{b + e ^{- 0, 75 t}}

với

P (0) = 20, P^{'} (0) = 12 \Rightarrow a = 25, b = \frac{1}{4} . P^{'} > 0

nên quần thể luôn tăng, nhưng

lim_{t \to + \infty} P = 100

: không vượt quá 100 tế bào.

Ví dụ 3 – chi phí biên

C (x) = 30000 + 300 x - 2, 5 x^{2} + 0, 125 x^{3}

(nghìn đồng): chi phí biên

C^{'} (x) = 300 - 5 x + 0, 375 x^{2}; C^{'} (200) = 14300

nghìn đồng

\approx

chi phí sản xuất đơn vị thứ

201 (C (201) - C (200) = 14372, 625)

Ví dụ 4 – chi phí xử lí ô nhiễm

C (x) = \frac{300 x}{100 - x}, 0 \leq x < 100 : C^{'} = \frac{30 000}{( 100 - x ) ^{2}} > 0

nên chi phí luôn tăng theo

x; lim_{x \to 10 0^{-}} C = + \infty

(tiệm cận đứng

x = 100

) nên không thể loại bỏ 100% chất gây ô nhiễm.

2. Bài toán tối ưu hoá đơn giản

Quy trình giải

Bước 1. Xác định đại lượng $Q$ cần lớn nhất / nhỏ nhất, biểu diễn qua các đại lượng khác.
Bước 2. Chọn một đại lượng làm biến $x$ , biểu diễn $Q = Q (x)$ ; tìm tập xác định (điều kiện thực tế của $x$ ).
Bước 3. Tìm GTLN / GTNN của $Q (x)$ (bảng biến thiên hoặc quy tắc trên đoạn) và kết luận bằng ngôn ngữ của bài toán.

Ví dụ 5 – hộp hình trụ 1 lít, chi phí nhỏ nhất

V = 1000

cm³

= π r^{2} h \Rightarrow h = \frac{1 000}{π r ^{2}}

. Diện tích toàn phần

S = 2 π r^{2} + \frac{2 000}{r} (r > 0); S^{'} = 0 \Leftrightarrow π r^{3} = 500 \Leftrightarrow r = 3 \frac{500}{π} \approx 5, 42

cm; khi đó

h \approx 10, 84

cm.
Nhận xét: thể tích không đổi thì diện tích bề mặt hình trụ nhỏ nhất khi chiều cao = đường kính đáy

(h = 2 r)

Ví dụ 6 – giá vé (tình huống mở đầu, tự tính) Sân 55 000 chỗ; giá 100 nghìn thu hút 27 000 người; mỗi lần giảm 10 nghìn thêm 3 000 người. Gọi

x

là số lần giảm 10 nghìn: giá

(100 - 10 x)

nghìn, số khán giả

27000 + 3000 x (\leq 55000

nên

0 \leq x \leq \frac{28}{3}

). Doanh thu

R = (100 - 10 x) (27000 + 3000 x) = - 30000 x^{2} + 30000 x + 2700000

, cực đại khi

x = \frac{30 000}{60 000} = 0, 5 \Rightarrow

giá vé

100 - 5 =

95 nghìn đồng, doanh thu cực đại 2 707 500 nghìn đồng (khoảng 2,7 tỉ đồng).

Lưu ý Hàm doanh thu bậc hai: đỉnh parabol cho GTLN (hệ số

a < 0

). Luôn kiểm tra nghiệm có thuộc điều kiện của biến (số nguyên, giới hạn sức chứa…) và đổi đơn vị trước khi tính.

Tổng kết chương I

Đơn điệu: $f^{'} > 0$ đồng biến, $f^{'} < 0$ nghịch biến. Cực trị: $f^{'}$ đổi dấu.
GTLN, GTNN trên đoạn: so sánh giá trị tại nghiệm của $f^{'}$ trong khoảng và hai đầu mút.
Tiệm cận: ngang (giới hạn ở vô cực), đứng (giới hạn vô cực tại hữu hạn), xiên ( $a, b$ từ giới hạn).
Khảo sát và vẽ đồ thị: TXĐ $\to$ biến thiên (giới hạn, tiệm cận, BBT) $\to$ vẽ đồ thị.
Ứng dụng: tốc độ thay đổi = đạo hàm; tối ưu hoá = lập hàm một biến rồi tìm GTLN/GTNN.

Mô phỏng tương tác: bài toán thực tiễn

Kéo biến số để thấy hình minh hoạ (hộp trụ, giá vé, chèo thuyền, vật phóng lên) thay đổi cùng điểm M trên đồ thị hàm mục tiêu, rồi tìm giá trị tối ưu.

Mô phỏngBài toán tối ưu và tốc độ thay đổi

Mở ở trang riêng ↗

Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng

2. Bài toán tối ưu hoá đơn giản

Mô phỏng tương tác: bài toán thực tiễn

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chương I