Bài 6. Vectơ trong không gian

Chương II. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

1. Vectơ trong không gian

Khái niệm

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của nó.

Kí hiệu Vectơ có điểm đầu

A

, điểm cuối

B : A B

. Khi không cần chỉ rõ:

a, b, x \dots

Độ dài:

∣ A B ∣ = A B, ∣ a ∣

. Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối.

Cùng phương, cùng hướng, bằng nhau

Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau; khi đó chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
$a = b$ nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Với mỗi điểm $O$ và vectơ $a$ cho trước, có duy nhất điểm $M$ sao cho $OM = a$ .
Vectơ-không $AA, BB \dots$ có độ dài 0, cùng hướng (nên cùng phương) với mọi vectơ; mọi vectơ-không đều bằng nhau, kí hiệu $0$ .

Ví dụ 1 – tứ diện đều cạnh 1 Vectơ có điểm đầu

A

và điểm cuối là đỉnh khác:

A B, A C, A D

(ba vectơ), độ dài đều bằng 1; chỉ

A B

và

A C

có giá nằm trong mặt phẳng

(A BC)

Ví dụ 2 – hình lăng trụ

A BC . A^{'} B^{'} C^{'}

A A^{'} = C C^{'}

(cùng hướng, cùng độ dài vì

A C C^{'} A^{'}

là hình bình hành), nhưng

A A^{'} \neq = B^{'} B

(ngược hướng) và

A A^{'} \neq = BC

(không cùng phương).

M

là trung điểm

BC

thì

M^{'}

thoả

M M^{'} = A A^{'}

là trung điểm

B^{'} C^{'}

Lưu ý Hai vectơ bằng nhau không nhất thiết có cùng điểm đầu. Trong hình hộp

A BC D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}, A B = D C = A^{'} B^{'} = D^{'} C^{'}

2. Tổng và hiệu của hai vectơ

Tổng của hai vectơ Cho hai vectơ

a, b

. Lấy điểm

A

bất kì, vẽ

A B = a, BC = b

. Khi đó

A C

là tổng của

a

và

b

, kí hiệu

a + b

Quy tắc và tính chất

Quy tắc ba điểm: $A B + BC = A C$ (với ba điểm $A, B, C$ bất kì).
Quy tắc hình bình hành: $A BC D$ là hình bình hành thì $A B + A D = A C$ .
Quy tắc hình hộp: $A BC D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình hộp thì $A B + A D + A A^{'} = A C^{'}$ .
Giao hoán: $a + b = b + a$ ; kết hợp: $(a + b) + c = a + (b + c); a + 0 = a$ .

Ví dụ 3, 4 Hình lập phương cạnh

1 : BC + D D^{'} = A D + D D^{'} = A D^{'}

có độ dài

2

. Tứ diện

A BC D : A C + B D = (A D + D C) + B D = A D + BC

Vectơ đối, hiệu của hai vectơ

Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với $a$ là vectơ đối của $a$ , kí hiệu $- a$ . Hai vectơ đối nhau $\Leftrightarrow$ tổng bằng $0 . B A$ là vectơ đối của $A B$ .
Hiệu: $a - b = a + (- b)$ . Với ba điểm $O, A, B$ : $OB - O A = A B$ .

Ví dụ 5, 6 Hình chóp

S . A BC D, A BC D

là hình bình hành,

M, N

là trung điểm

A B, C D : A M = NC

nên

A M

và

CN

đối nhau;

SC - A M - A N = SC + CN - A N = SN + N A = S A

3. Tích của một số với một vectơ

Định nghĩa Tích của số thực

k \neq = 0

với vectơ

a \neq = 0

là vectơ

k a

cùng hướng với $a$ nếu $k > 0$ ; ngược hướng nếu $k < 0$ ;
có độ dài $∣ k ∣ \cdot ∣ a ∣$ .

Quy ước

0 a = 0

và

k 0 = 0

. Nếu

k a = 0

thì

k = 0

hoặc

a = 0

Tính chất

$h (k a) = (hk) a; (h + k) a = h a + k a; k (a + b) = k a + k b; 1 a = a; (- 1) a = - a$ .
Điều kiện cùng phương: $a$ và $b (b \neq = 0)$ cùng phương $\Leftrightarrow$ tồn tại $k$ để $a = k b$ .
Trung điểm: $M$ là trung điểm $A B \Rightarrow OM = \frac{1}{2} (O A + OB)$ (với mọi $O$ ).
Trọng tâm: $G$ là trọng tâm tam giác $A BC \Rightarrow G A + GB + GC = 0$ và $O A + OB + OC = 3 OG$ .

Ví dụ 7, 8 Tứ diện

A BC D, G

là trọng tâm tam giác

BC D : A B + A C + A D = 3 A G

(vì

GB + GC + G D = 0

). Điểm

I

thuộc

A G

với

A I = 3 I G

là trọng tâm của tứ diện:

I A + I B + I C + I D = 0

4. Tích vô hướng của hai vectơ

Góc giữa hai vectơ Cho

a, b

khác

0

; lấy

O

và

O A = a, OB = b

. Góc

A OB (0° \leq A OB \leq 180°)

là góc giữa hai vectơ, kí hiệu

(a, b)

. Góc giữa

A B

và

C D

: lấy

E

với

A E = C D

, góc

= B A E

.
Nếu

(a, b) = 90°

thì

a ⊥ b

. Cùng hướng: 0°; ngược hướng: 180°.

Tích vô hướng

$a \cdot b = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos (a, b)$

Quy ước $a \cdot b = 0$ nếu $a = 0$ hoặc $b = 0$ .
$a ⊥ b \Leftrightarrow a \cdot b = 0; a^{2} = ∣ a ∣^{2}; cos (a, b) = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣}$ .
Giao hoán $a \cdot b = b \cdot a; k (a \cdot b) = (k a) \cdot b$ ; phân phối $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ .

Ví dụ 9, 10 – góc và tích vô hướng Hình lập phương

A BC D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} : (A D, B^{'} C^{'}) = 0°

(cùng hướng);

(A C, A^{'} D^{'}) = (A C, A D) = C A D = 45°

.
Hình chóp tứ giác đều

S . A BC D

có mọi cạnh bằng

a : A S \cdot BC = a \cdot a \cdot cos 60° = \frac{a ^{2}}{2}; A S \cdot A C = a \cdot 2 a \cdot cos 45° = a^{2}

Ví dụ 11 – chứng minh vuông góc Tứ diện

A BC D

có

A C ⊥ A B, B D ⊥ A B; M, N

là trung điểm

A B, C D

. Khi đó

MN = \frac{1}{2} (A C + B D)

, nên

MN \cdot A B = \frac{1}{2} (A C \cdot A B + B D \cdot A B) = 0

Ứng dụng vật lí Công của lực

F

làm vật dịch chuyển

MN : A = F \cdot MN = F \cdot MN \cdot cos (F, MN)

; lớn nhất khi lực cùng hướng với chuyển động.

Cách làm hay gặp Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc hoặc tính góc: biểu diễn các vectơ theo vài vectơ cơ sở có độ dài, góc biết trước, rồi dùng tích vô hướng.

Mô phỏng tương tác: vectơ trong không gian

Xoay hình hộp, tứ diện, hình chóp bằng chuột; quan sát hai vectơ bằng nhau, quy tắc hình hộp, tích một số với vectơ, góc và tích vô hướng.

Mô phỏngVectơ, quy tắc hình hộp, tích vô hướng

Mở ở trang riêng ↗

Bài 6. Vectơ trong không gian

1. Vectơ trong không gian

2. Tổng và hiệu của hai vectơ

3. Tích của một số với một vectơ

4. Tích vô hướng của hai vectơ

Mô phỏng tương tác: vectơ trong không gian

Sơ đồ tư duy