Bài 7. Hệ trục toạ độ trong không gian

Chương II. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

1. Hệ trục toạ độ trong không gian

Hệ toạ độ Oxyz Ba trục

O x, O y, O z

đôi một vuông góc tại gốc

O; i, j, k

là các vectơ đơn vị trên các trục. Hệ ba trục này là hệ trục toạ độ Descartes vuông góc

O x yz

(hệ toạ độ

O x yz); O

là gốc toạ độ; các mặt phẳng

(O x y), (O yz), (O z x)

là các mặt phẳng toạ độ.
Có thể chọn hệ toạ độ ở góc phòng hoặc đỉnh hình lập phương/hộp chữ nhật.

Ví dụ 1 Hình lập phương

A BC D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

cạnh 1: chọn

O \equiv B^{'}, i = B^{'} A^{'}, j = B^{'} C^{'}, k = B^{'} B

được hệ toạ độ

O x yz

, vì ba cạnh

B^{'} A^{'}, B^{'} C^{'}, B^{'} B

đôi một vuông góc và có độ dài 1.

2. Toạ độ của điểm và của vectơ

Toạ độ của điểm Bộ ba số

(x; y; z)

duy nhất sao cho

OM = x i + y j + z k

là toạ độ của điểm

M

, viết

M (x; y; z) : x

là hoành độ,

y

là tung độ,

z

là cao độ. Gốc

O (0; 0; 0)

Hệ trục toạ độ Oxyz và điểm

M (x; y

; z): OM = xi + yj + zk

Hình chiếu của điểm

M (x; y; z)

Trên các trục $O x, O y, O z : (x; 0; 0), (0; y; 0), (0; 0; z)$ .
Trên các mặt phẳng $(O x y), (O yz), (O z x) : (x; y; 0), (0; y; z), (x; 0; z)$ .

Toạ độ của vectơ Bộ ba số

(x; y; z)

duy nhất sao cho

a = x i + y j + z k

là toạ độ của

a

, viết

a = (x; y; z)

. Toạ độ của

OM

chính là toạ độ điểm

M

Hai vectơ bằng nhau $\Leftrightarrow$ các toạ độ tương ứng bằng nhau.
$i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1), 0 = (0; 0; 0)$ .

Toạ độ vectơ theo hai đầu mút

$MN = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}; z_{N} - z_{M})$

Ví dụ 2, 3 – hộp chữ nhật Hộp chữ nhật

A BC D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}, A^{'} \equiv O, D^{'}, B^{'}, A

lần lượt trên

O x, O y, O z; C (2; 3; 5) \Rightarrow D^{'} (2; 0; 0), B^{'} (0; 3; 0), A (0; 0; 5)

Ví dụ 5 – lăng trụ

A (1; 0; 2), B (3; 2; 5), A^{'} (5; 0; 1) : A A^{'} = (4; 0; - 1)

. Vì

B B^{'} = A A^{'}

nên

B^{'} = (3 + 4; 2 + 0; 5 - 1) = (7; 2; 4)

Chọn hệ toạ độ cho bài toán thực tế Chọn góc phòng làm gốc: bóng đèn cách sàn 2 m và hai tường 1 m, 1,5 m có toạ độ

(1; 1, 5; 2)

(tuỳ chiều các trục). Khi dùng đơn vị km để theo dõi máy bay, mặt phẳng

(O x y)

trùng mặt đất,

O z

hướng lên trời.

Lưu ý Mặt phẳng

(O x y) : z = 0; (O yz) : x = 0; (O z x) : y = 0

. Trục

O x : y = z = 0

, cứ tương tự cho các trục khác.

Mô phỏng tương tác: hệ trục toạ độ Oxyz

Nhập toạ độ x, y, z, xoay hệ trục để thấy hình hộp chiếu và các vectơ thành phần; tìm toạ độ của vectơ khi biết hai điểm.

Mô phỏngToạ độ của điểm và của vectơ trong Oxyz

Mở ở trang riêng ↗

Bài 7. Hệ trục toạ độ trong không gian

1. Hệ trục toạ độ trong không gian

2. Toạ độ của điểm và của vectơ

Mô phỏng tương tác: hệ trục toạ độ Oxyz

Sơ đồ tư duy