Bài 8. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Chương II. Vectơ và hệ trục toạ độ trong không gian

1. Toạ độ của tổng, hiệu và tích với một số

Công thức Cho

a = (x; y; z), b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})

, số thực

k

$a + b = (x + x^{'}; y + y^{'}; z + z^{'})$
$a - b = (x - x^{'}; y - y^{'}; z - z^{'})$
$k a = (k x; k y; k z)$ ; vectơ đối của $a$ là $(- x; - y; - z)$ .

Điều kiện cùng phương

a

cùng phương

b \neq = 0 \Leftrightarrow

tồn tại

k

sao cho

x = k x^{'}, y = k y^{'}, z = k z^{'}

(các toạ độ tương ứng tỉ lệ).

Ví dụ 1

a = (2; 1; 5), b = (2; 2; 1) : a - b = (0; - 1; 4); 3 a + 2 b = (6; 3; 15) + (4; 4; 2) = (10; 7; 17)

2. Trung điểm và trọng tâm

Công thức Cho

A (x_{A}; y_{A}; z_{A}), B, C

Trung điểm $M$ của $A B : M (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2}; \frac{z _{A} + z _{B}}{2})$
Trọng tâm $G$ của tam giác $A BC : G (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}; \frac{z _{A} + z _{B} + z _{C}}{3})$

Ví dụ 2

A (1; 2; 3), B (3; 2; 1), C (2; - 1; 5)

: trung điểm

A B

là

M (2; 2; 2)

; trọng tâm

G (2; 1; 3)

.
Tìm

C

khi biết

G

: lấy

x_{C} = 3 x_{G} - x_{A} - x_{B}

(tương tự cho

y, z

3. Toạ độ của tích vô hướng, độ dài, góc

Công thức

a = (x; y; z), b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})

Tích vô hướng: $a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$
$a ⊥ b \Leftrightarrow x x^{'} + y y^{'} + z z^{'} = 0$
Độ dài: $∣ a ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$
Góc: $cos (a, b) = \frac{x x ^{'} + y y ^{'} + z z ^{'}}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} \cdot x ^{' 2} + y ^{' 2} + z ^{' 2}} (a, b \neq = 0)$
Khoảng cách: $A B = ∣ A B ∣ = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}; O A = x_{A}^{2} + y_{A}^{2} + z_{A}^{2}$ .

Ví dụ 3

a = (1; 4; 2), b = (- 4; 1; 0) : a \cdot b = - 4 + 4 + 0 = 0 \Rightarrow a ⊥ b; ∣ a ∣ = 1 + 16 + 4 = 21

Ví dụ 4 – hình chóp có đáy hình chữ nhật

S . A BC D, S A ⊥ (A BC D), S A = 2, A B = 3, A D = 4

; chọn

A \equiv O, O x \equiv A B, O y \equiv A D, O z \equiv A S : B (3; 0; 0), D (0; 4; 0), S (0; 0; 2), C (3; 4; 0) . B D = (- 3; 4; 0) \Rightarrow B D = 5; SC = (3; 4; - 2) \Rightarrow SC = 29; cos (B D, SC) = \frac{7}{5 29} \Rightarrow

góc

\approx 74, 9°

Mẹo Bài toán hình học không gian có các cạnh/đường vuông góc đôi một sẽ dễ hơn khi gắn hệ toạ độ: gốc ở đỉnh có ba cạnh vuông góc, các trục trùng ba cạnh đó.

4. Vận dụng vào bài toán thực tiễn

Ví dụ 5 – máy bay Radar thấy máy bay đi từ

A (800; 500; 7)

đến

B (940; 550; 8)

trong 10 phút. Giữ nguyên vận tốc và hướng, sau 5 phút nữa:

BC = \frac{1}{2} A B = (70; 25; 0, 5) \Rightarrow C (1010; 575; 8, 5)

Ví dụ 6 – nhà gỗ lăng trụ

A^{'} (240; 450; 0), B^{'} (120; 450; 300)

(cm):

A^{'} B^{'} = (- 120; 0; 300)

, độ dài

6029 \approx 323

cm;

O^{'} (0; 450; 0)

. Kích thước: dài 450 cm, rộng 240 cm, cạnh bên mặt tiền 323 cm.

Ví dụ 7 – hai khinh khí cầu Hệ toạ độ gốc ở điểm xuất phát,

O x

hướng nam,

O y

hướng đông,

O z

hướng lên (km): khinh khí cầu 1 ở

(2; 1; 0, 5)

, khinh khí cầu 2 ở

(- 1; - 1, 5; 0, 8)

. Khoảng cách

(- 3)^{2} + (- 2, 5)^{2} + 0, 3^{2} = 15, 34 \approx

3,92 km.

Tổng kết chương II

Vectơ: quy tắc ba điểm, hình bình hành, hình hộp; $OB - O A = A B$ ; tích với số; tích vô hướng.
Toạ độ: $A B =$ (hiệu toạ độ); trung điểm, trọng tâm; $a \cdot b = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}; ∣ a ∣; cos$ góc; $A B = Δ x^{2} + Δ y^{2} + Δ z^{2}$ .

Mô phỏng tương tác: phép toán vectơ theo toạ độ

Nhập toạ độ hai vectơ và xem tổng, hiệu, tích với một số, tích vô hướng, góc, trung điểm, trọng tâm được tính và vẽ trên hệ trục Oxyz.

Mô phỏngBiểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Mở ở trang riêng ↗