Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Khoảng biến thiên

Mẫu số liệu ghép nhóm Mẫu số liệu ghép nhóm gồm các nhóm

[a_{1}; a_{2}), \dots, [a_{k}; a_{k + 1})

với tần số

m_{1}, \dots, m_{k}

(đều

> 0

); cỡ mẫu

n = m_{1} + \dots + m_{k}

Khoảng biến thiên

$R = a_{k + 1} - a_{1}$ (đầu mút phải của nhóm cuối trừ đầu mút trái của nhóm đầu)

Ý nghĩa

R

của mẫu ghép nhóm xấp xỉ (và lớn hơn hoặc bằng) khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc. Dùng để đo mức độ phân tán:

R

càng lớn thì mẫu càng phân tán.

Ví dụ 1 – thời gian dùng mạng xã hội Thời gian (phút):

[0; 10), [10; 30), [30; 60), [60; 90]

. Tổ

1 : 2; 4; 3; 1 \Rightarrow R_{1} = 90 - 0 = 90

. Tổ

2 : 5; 1; 3; 0 \Rightarrow R_{2} = 60 - 0 = 60

(nhóm cuối có tần số 0 nên nhóm cuối thực sự là

[30; 60)

). Vì

R_{1} > R_{2}

nên thời gian dùng của Tổ 1 phân tán hơn.

Lưu ý Nhóm đầu và nhóm cuối phải có tần số khác 0 mới dùng làm đầu mút; nhóm tần số 0 ở hai đầu thì bỏ đi trước khi tính. Khoảng biến thiên chỉ dựa vào hai giá trị đầu mút nên rất nhạy với giá trị bất thường.

2. Khoảng tứ phân vị

Tứ phân vị của mẫu ghép nhóm Cỡ mẫu

n

. Tứ phân vị thứ

r (r = 1, 2, 3)

$Q_{r} = a_{p} + \frac{\frac{r n}{4} - ( m _{1} + \dots + m _{p - 1} )}{m _{p}} (a_{p + 1} - a_{p})$

trong đó

[a_{p}; a_{p + 1})

là nhóm chứa tứ phân vị thứ

r

(nhóm đầu tiên mà tần số tích luỹ

\geq \frac{r n}{4}) . Q_{2}

chính là trung vị.

Khoảng tứ phân vị

$Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$

Δ_{Q}

càng lớn thì mẫu càng phân tán. Vì chỉ phụ thuộc vào nửa giữa của mẫu nên

Δ_{Q}

không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường, có thể dùng để loại giá trị bất thường.

Ví dụ 2 – thời gian chờ khám Thời gian (phút):

[0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20)

với tần số

3; 12; 15; 8 \Rightarrow n = 38

$Q_{1} : \frac{n}{4} = 9, 5$ nằm trong nhóm $[5; 10) : Q_{1} = 5 + \frac{9 , 5 - 3}{12} \cdot 5 \approx 7, 71$ .
$Q_{3} : \frac{3 n}{4} = 28, 5$ nằm trong nhóm $[10; 15) : Q_{3} = 10 + \frac{28 , 5 - 15}{15} \cdot 5 = 14, 5$ .
$Δ_{Q} = 14, 5 - 7, 71 \approx$ 6,79. Phòng khám Y có $Δ_{Q} = 9, 23 > 6, 79$ nên thời gian chờ ở Y phân tán hơn.

Vận dụng – nhiệt độ Hà Nội tháng 6 Nhóm (°C):

[28; 30), \dots, [38; 40] .2021 : 0; 2; 8; 5; 6; 9 \Rightarrow R = 40 - 30 = 10

(bỏ nhóm

[28; 30)

vì tần số

0) .2022 : 2; 3; 4; 11; 8; 2 \Rightarrow R = 40 - 28 = 12

. Khoảng tứ phân vị giúp kết luận chính xác hơn khi có giá trị bất thường.

Nên dùng đại lượng nào? Khoảng biến thiên: nhanh, nhưng nhạy với giá trị bất thường. Khoảng tứ phân vị: ổn định, phản ánh nửa giữa của mẫu — nên dùng khi nghi ngờ có giá trị bất thường.

Các bước nhớ (1) Tính

n

và tần số tích luỹ; (2) tìm nhóm chứa

\frac{n}{4}

và

\frac{3 n}{4}; (3)

thay vào công thức

Q_{r}; (4) Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}

; so sánh hai mẫu: giá trị lớn hơn

\Rightarrow

phân tán hơn.

Mô phỏng tương tác: độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Sửa bảng tần số, quan sát khoảng biến thiên, các tứ phân vị và khoảng tứ phân vị trên biểu đồ (dùng tiếp cho Bài 10: phương sai, độ lệch chuẩn).

Mô phỏngKhoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Mở ở trang riêng ↗

Bài 9. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

1. Khoảng biến thiên

2. Khoảng tứ phân vị

Mô phỏng tương tác: độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

Sơ đồ tư duy