Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

Chương III. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Phương sai và độ lệch chuẩn

Công thức (mẫu số liệu ghép nhóm) Cho các nhóm

[a_{i}; a_{i + 1})

tần số

m_{i}, n = m_{1} + \dots + m_{k}

Giá trị đại diện của nhóm: $x_{i} = \frac{a _{i} + a _{i + 1}}{2}$ (trung điểm nhóm).
Số trung bình: $\overset{x}{ˉ} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{k} x _{k}}{n}$
Phương sai: $s^{2} = \frac{m _{1} ( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + \dots + m _{k} ( x _{k} - x ˉ ) ^{2}}{n}$
Độ lệch chuẩn: $s = s^{2}$

Công thức rút gọn (dễ tính hơn)

$s^{2} = \frac{1}{n} (m_{1} x_{1}^{2} + \dots + m_{k} x_{k}^{2}) - \overset{x}{ˉ}^{2}$

“Trung bình của bình phương trừ bình phương của trung bình”. Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với số liệu; phương sai có đơn vị bình phương.

Ý nghĩa Phương sai, độ lệch chuẩn xấp xỉ cho mẫu gốc và đo mức độ phân tán quanh số trung bình; càng lớn thì mẫu càng phân tán. (Sách còn nhắc phương sai hiệu chỉnh ŝ²

= \frac{m _{1} ( x _{1} - x ˉ ) ^{2} + \dots}{n - 1}

khi mẫu là mẫu nhỏ lấy từ tổng thể lớn.)

Ví dụ 1 – thay đổi cân nặng sau ăn kiêng Giá trị đại diện −0,5; 0,5; 1,5; 2,5; 3,5 (kg).

Nam (15 người: $2; 3; 5; 3; 2) : \overset{x}{ˉ}_{1} = 1, 5; s_{1}^{2} \approx 1, 21 \Rightarrow s_{1} \approx$ 1,21.
Nữ (30 người: $2; 7; 12; 7; 2) : \overset{x}{ˉ}_{2} = 1, 5; s_{2}^{2} = 1 \Rightarrow s_{2} =$ 1.

Trung bình bằng nhau (1,5 kg) nhưng nữ có

s

nhỏ hơn nên ít biến động hơn.

Tình huống mở đầu – máy đo độ ẩm Độ ẩm

(%) : [52; 52, 1), \dots, [52, 4; 52, 5)

với tần số

1; 5; 8; 4; 2 (n = 20) . \overset{x}{ˉ} = 52, 255; s^{2} \approx 0, 0105 \Rightarrow s \approx

0,102

< 0, 15 \Rightarrow

không cần đưa máy đi sửa chữa.

Lưu ý khi tính Lập bảng giá trị đại diện – tần số trước; tính trung bình rồi mới tính phương sai. Nên dùng máy tính cầm tay (chế độ thống kê) để tính nhanh, nhưng phải hiểu công thức. Nếu hai mẫu khác đơn vị hoặc trung bình khác nhau nhiều, không so trực tiếp độ lệch chuẩn (dùng hệ số biến thiên).

2. Sử dụng phương sai, độ lệch chuẩn đo độ rủi ro

Nguyên tắc Trong tài chính, độ lệch chuẩn của lợi nhuận đo độ rủi ro: độ lệch chuẩn càng lớn thì phương án đầu tư càng rủi ro — với điều kiện lợi nhuận trung bình của các phương án là xấp xỉ nhau.

Ví dụ 2 – hai lĩnh vực

A, B

Số tiền thu hằng tháng (triệu đồng), 60 tháng, giá trị đại diện

7, 5; 12, 5; 17, 5; 22, 5; 27, 5. A : 5; 10; 30; 10; 5 \Rightarrow \overset{x}{ˉ}_{A} = 17, 5; s_{A} = 5. B : 20; 5; 10; 5; 20 \Rightarrow \overset{x}{ˉ}_{B} = 17, 5; s_{B} \approx 8, 42

. Trung bình bằng nhau,

s_{B} > s_{A} \Rightarrow

đầu tư vào B rủi ro hơn.

Ví dụ 3 – khi KHÔNG nên so độ lệch chuẩn Nhà đầu tư nhỏ: lợi nhuận trung bình 35 triệu,

s \approx 10, 95

; nhà đầu tư lớn: trung bình 535 triệu,

s \approx 13, 78

. Lợi nhuận trung bình khác nhau rất nhiều nên không nên dựa vào độ lệch chuẩn để so rủi ro.

Em có biết – hệ số biến thiên Để so độ phân tán khi đơn vị khác nhau hoặc trung bình khác nhau nhiều, dùng hệ số biến thiên:

C V = \frac{s}{x ˉ}

(thường viết theo %).

Tổng kết chương III

Khoảng biến thiên $R = a_{k + 1} - a_{1}$ ; khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ (không nhạy với giá trị bất thường).
Phương sai $s^{2} = (\frac{1}{n}) \sum m_{i} (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2} = (\frac{1}{n}) \sum m_{i} x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ ; độ lệch chuẩn $s = s^{2}$ .
Các số này đều càng lớn thì càng phân tán; đo rủi ro đầu tư bằng độ lệch chuẩn khi trung bình xấp xỉ nhau.

Mô phỏng tương tác: phương sai và độ lệch chuẩn

Sửa bảng tần số, quan sát giá trị đại diện, số trung bình và dải từ x̄ − s đến x̄ + s; so sánh độ phân tán của hai mẫu trong SGK.

Mô phỏngPhương sai và độ lệch chuẩn

Mở ở trang riêng ↗

Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

1. Phương sai và độ lệch chuẩn

2. Sử dụng phương sai, độ lệch chuẩn đo độ rủi ro

Mô phỏng tương tác: phương sai và độ lệch chuẩn

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chương III