Bài 11. Nguyên hàm

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

1. Nguyên hàm của một hàm số

Định nghĩa

f (x)

xác định trên khoảng (đoạn, nửa khoảng)

K

. Hàm

F (x)

là một nguyên hàm của

f (x)

trên

K

nếu

$F^{'} (x) = f (x)$ với mọi $x \in K$

Ví dụ:

F (x) = \frac{x ^{3}}{3} - x^{2}

là nguyên hàm của

x^{2} - 2 x

trên

R

Họ nguyên hàm Nếu

F (x)

là một nguyên hàm của

f (x)

trên

K

thì:

$F (x) + C$ cũng là nguyên hàm (mọi hằng số $C$ );
mọi nguyên hàm của $f$ trên $K$ đều có dạng $F (x) + C$ .

Ta gọi

F (x) + C

là họ các nguyên hàm của

f (x)

, kí hiệu

\int f (x) d x = F (x) + C

Chú ý

$f$ liên tục trên $K$ thì có nguyên hàm trên $K$ .
$f (x) d x$ là vi phân của $F (x) : d F (x) = F^{'} (x) d x = f (x) d x$ .
Không chỉ rõ $K$ thì hiểu là tìm nguyên hàm trên tập xác định.
Tính đạo hàm và tìm nguyên hàm là hai phép toán ngược nhau.

Ví dụ

f (x) = x^{2} - 2 x : G (x) = \frac{x ^{3}}{3} + x^{2}

không là nguyên hàm vì

G^{'} (1) = 3 \neq = - 1 = f (1)

. Còn

\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + C

vì

(\frac{x ^{3}}{3})^{'} = x^{2}

2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

Tính chất

$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x (k \neq = 0$ là hằng số).
$\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$ .
$\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$ .

Ví dụ

\int (x^{2} + x) d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + C; \int (4 x^{3} - 3 x^{2}) d x = x^{4} - x^{3} + C

Bài toán chuyển động (tình huống mở đầu) Máy bay chạy đà với

v (t) = 5 + 3 t (m

/s),

S^{'} = v

. Khi đó

S (t) = \int (5 + 3 t) d t = 5 t + \frac{3}{2} t^{2} + C; S (0) = 0 \Rightarrow C = 0

. Rời đường băng ở

t = 30

S (30) = 150 + 1350 =

1 500 m.

Vận dụng – doanh thu Tốc độ biến động doanh thu

M_{R} (x) = R^{'} (x) = 300 - 0, 1 x

nên

R (x) = 300 x - 0, 05 x^{2} + C; R (0) = 0 \Rightarrow R (1000) = 300000 - 50000 =

250 000 triệu đồng.

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Bảng nguyên hàm

$\int 0 d x = C$	$\int 1 d x = x + C$
$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C (α \neq = - 1)$	$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$	$\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C (0 < a \neq = 1)$
$\int cos x d x = sin x + C$	$\int sin x d x = - cos x + C$
$\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tan x + C$	$\int \frac{1}{sin ^{2} x} d x = - cot x + C$

Nguồn gốc Hàm luỹ thừa

(x^{α})^{'} = α x^{α - 1} (x > 0); (ln ∣ x ∣)^{'} = \frac{1}{x} (x \neq = 0); (sin x)^{'} = cos x, (cos x)^{'} = - sin x, (tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}, (cot x)^{'} = - \frac{1}{sin ^{2} x}; (e^{x})^{'} = e^{x}; (a^{x})^{'} = a^{x} ln a

Ví dụ

$\int x d x = \int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{2}{3} x x + C; \int \frac{1}{x ^{3}} d x = - \frac{1}{2 x ^{2}} + C$ .
$\int (2 x^{2} + \frac{3}{x}) d x = \frac{2}{3} x^{3} + 6 x + C$ .
$\int (2 cos x - \frac{1}{cos ^{2} x}) d x = 2 sin x - tan x + C$ .
$\int 2^{x} d x = \frac{2 ^{x}}{ln 2} + C; \int (\frac{1}{3})^{x} d x = - \frac{1}{3 ^{x} ln 3} + C; \int (2 e^{x} - 5^{x}) d x = 2 e^{x} - \frac{5 ^{x}}{ln 5} + C$ .

Lưu ý – lỗi hay gặp Đưa căn, phân thức về luỹ thừa:

x = x^{\frac{1}{2}}, \frac{1}{x ^{n}} = x^{- n}, 3 x = x^{\frac{1}{3}}

. Không có công thức nguyên hàm của tích hay thương: phải khai triển trước (ví dụ

\int (2 x - 1)^{2} d x = \int (4 x^{2} - 4 x + 1) d x

). Nhớ cộng hằng số $C$ .

Mô phỏng tương tác: họ nguyên hàm F(x) + C

Kéo hằng số C và điểm x₀: các đồ thị của họ nguyên hàm có tiếp tuyến song song; tìm nguyên hàm thoả mãn một điều kiện cho trước.

Mô phỏngHọ nguyên hàm của một hàm số

Mở ở trang riêng ↗

Bài 11. Nguyên hàm

1. Nguyên hàm của một hàm số

2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

Mô phỏng tương tác: họ nguyên hàm F(x) + C

Sơ đồ tư duy