Bài 12. Tích phân

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

1. Khái niệm tích phân

Hình thang cong Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

y = f (x) (f

liên tục, không âm trên

[a; b]

), trục hoành và hai đường thẳng

x = a, x = b

gọi là hình thang cong. Diện tích của nó:

S = F (b) - F (a)

, với

F (x)

là một nguyên hàm của

f (x)

trên

[a; b]

Hình thang cong giới hạn bởi

y = x^{2}

, trục hoành,

x = 1, x = 2

Ví dụ

y = x^{3}

, trục hoành,

x = 1, x = 2 : F (x) = \frac{x ^{4}}{4} \Rightarrow S = F (2) - F (1) = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}

Định nghĩa tích phân

f (x)

liên tục trên

[a; b], F (x)

là một nguyên hàm. Hiệu

F (b) - F (a)

là tích phân từ $a$ đến $b$ của

f (x)

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x)_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

a

: cận dưới;

b

: cận trên;

f (x) d x

: biểu thức dưới dấu tích phân.

Chú ý

Kết quả không phụ thuộc nguyên hàm được chọn (hằng số $C$ triệt tiêu) và không phụ thuộc tên biến: $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t$ .
Quy ước: $\int_{a}^{a} f d x = 0; \int_{a}^{b} f d x = - \int_{b}^{a} f d x$ .

Ví dụ

$\int_{- 1}^{3} x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}_{- 1}^{3} = 9 + \frac{1}{3} = \frac{28}{3}$ .
$\int_{0}^{\frac{π}{6}} cos t d t = sin t_{0}^{\frac{π}{6}} = \frac{1}{2}; \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d u}{cos ^{2} u} = tan u_{0}^{\frac{π}{4}} = 1; \int_{1}^{2} 2^{x} d x = \frac{2}{ln 2}$ .

Ý nghĩa hình học

f

liên tục, không âm trên

[a; b]

thì

\int_{a}^{b} f (x) d x

là diện tích hình thang cong giới hạn bởi

y = f (x)

, trục hoành,

x = a, x = b

Ví dụ – dùng diện tích hình quen thuộc

\int_{0}^{1} (x + 1) d x =

diện tích hình thang vuông có hai đáy 1 và 2, cao

1 = \frac{1}{2} (1 + 2) \cdot 1 = \frac{3}{2} . \int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x =

diện tích nửa hình tròn bán kính

1 = \frac{π}{2}

Tình huống mở đầu – ô tô dừng lại

v (t) = - 40 t + 20

(m/s); dừng hẳn khi

v = 0 \Rightarrow t = 0, 5

s. Quãng đường

= \int_{0}^{0, 5} (- 40 t + 20) d t = (- 20 t^{2} + 20 t)_{0}^{0, 5} =

5 m.

2. Tính chất của tích phân

Cho

f, g

liên tục trên

[a; b]

$\int_{a}^{b} k f d x = k \int_{a}^{b} f d x (k$ là hằng số).
$\int_{a}^{b} [f \pm g] d x = \int_{a}^{b} f d x \pm \int_{a}^{b} g d x$ .
$\int_{a}^{b} f d x = \int_{a}^{c} f d x + \int_{c}^{b} f d x (a < c < b)$ — chia đoạn.

Ví dụ

$\int_{1}^{4} (x^{3} + 3 x) d x = \frac{x ^{4}}{4}_{1}^{4} + 2 x x_{1}^{4} = \frac{255}{4} + 14 = \frac{311}{4}$ .
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (e^{x} - 2 cos x) d x = e^{\frac{π}{2}} - 3$ .

Ví dụ – tích phân chứa giá trị tuyệt đối

\int_{0}^{3} ∣ x - 2∣ d x = \int_{0}^{2} (2 - x) d x + \int_{2}^{3} (x - 2) d x = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

. Cách làm: tìm điểm đổi dấu trong đoạn, chia đoạn, bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Vận dụng – giá trị trung bình Giá trị trung bình của

f

trên

[a; b] : \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

. Ví dụ

T (t) = 20 + 1, 5 (t - 6)

trên

[6; 12]

: nhiệt độ trung bình

= \frac{1}{6} \cdot (120 + 27) = \frac{147}{6} =

24,5 °C.

Lưu ý Tích phân là một số (có cận), nguyên hàm là một họ hàm (có

C

). Dùng tính chất chia đoạn khi hàm đổi dấu hoặc đổi biểu thức. Không viết

\int_{a}^{b} f \cdot g = \int f \cdot \int g

Mô phỏng tương tác: tích phân và diện tích hình thang cong

Kéo a, b để thay đổi hình thang cong, chia đoạn thành nhiều hình chữ nhật để thấy tổng diện tích tiến tới tích phân, quan sát tích phân của hàm số đổi dấu.

Mô phỏngTích phân và hình thang cong

Mở ở trang riêng ↗

Bài 12. Tích phân

1. Khái niệm tích phân

2. Tính chất của tích phân

Mô phỏng tương tác: tích phân và diện tích hình thang cong

Sơ đồ tư duy