Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Chương IV. Nguyên hàm và tích phân

1. Tính diện tích hình phẳng

a) Hình giới hạn bởi một đồ thị, trục hoành,

x = a, x = b

f

liên tục trên

[a; b]

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$

Ví dụ 1, 2

y = x^{3}, x = 0, x = 2 : S = \int_{0}^{2} x^{3} d x = 4

y = sin x, x = 0, x = 2 π : S = \int_{0}^{π} sin x d x + \int_{π}^{2 π} (- sin x) d x = 2 + 2 =

4 (phải chia đoạn tại

π

vì

sin

đổi dấu).

b) Hình giới hạn bởi hai đồ thị và

x = a, x = b

f, g

liên tục trên

[a; b]

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$

Nếu

f - g

không đổi dấu trên

[a; b]

thì

∣ \int (f - g) d x ∣ = \int ∣ f - g ∣ d x

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị

y = - x^{2} + 4

x và

y = x, x = 1, x = 3

Ví dụ 3, 4

y = 4 - x^{2}, y = x^{2}, x = - 1, x = 1 : S = \int_{- 1}^{1} (4 - 2 x^{2}) d x = (4 x - \frac{2}{3} x^{3})_{- 1}^{1} = \frac{20}{3}

y = sin x, y = cos x, x = 0, x = \frac{π}{4} : S = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (cos x - sin x) d x = 2 - 1

Các bước

Vẽ (hoặc hình dung) đồ thị; xác định cận.
Giải $f (x) = g (x)$ để tìm giao điểm; chia đoạn tại các giao điểm nằm giữa $a$ và $b$ .
Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo từng đoạn rồi tính tích phân.

Vận dụng – thặng dư (kinh tế) Hàm cầu

p = - 0, 36 x + 9

và hàm cung

p = 0, 14 x + 2

cắt nhau tại điểm cân bằng

(x_{0}; p_{0}) = (14; 3, 96)

. Thặng dư tiêu dùng

= \int_{0}^{14} (- 0, 36 x + 9 - 3, 96) d x = 35, 28

; thặng dư sản xuất

= \int_{0}^{14} (3, 96 - 0, 14 x - 2) d x = 13, 72

2. Tính thể tích vật thể

a) Thể tích vật thể có mặt cắt

S (x)

Vật thể

B

nằm giữa hai mặt phẳng vuông góc với

O x

tại

x = a, x = b

; mặt phẳng vuông góc

O x

tại

x

cắt vật thể theo mặt cắt diện tích

S (x)

(liên tục trên

[a; b]

$V = \int_{a}^{b} S (x) d x$

Ví dụ 5, 6 – lăng trụ và chóp Lăng trụ diện tích đáy

S

, cao

h

: mặt cắt có diện tích không đổi

S \Rightarrow V = \int_{0}^{h} S d x =

$S h$ .
Chóp đều đáy hình vuông cạnh

L

, cao

h

(đỉnh ở gốc): mặt cắt vuông cạnh

a = \frac{Lx}{h} \Rightarrow S (x) = \frac{L ^{2} x ^{2}}{h ^{2}}; V = \int_{0}^{h} (\frac{L ^{2} x ^{2}}{h ^{2}}) d x = \frac{1}{3} L^{2} h

. Tổng quát: thể tích chóp

= \frac{1}{3}

diện tích đáy

\times

chiều cao.

b) Thể tích khối tròn xoay Quay hình phẳng giới hạn bởi

y = f (x) (f

liên tục, không âm trên

[a; b]

), trục hoành,

x = a, x = b

quanh

O x

: mặt cắt tại

x

là hình tròn bán kính

f (x)

, diện tích

π f^{2} (x)

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

Ví dụ 7, 8, và hệ quả

$y = x, x = 0, x = 1 : V = π \int_{0}^{1} x d x = \frac{π}{2}$ .
Khối cầu bán kính $R$ : quay $y = R^{2} - x^{2} (- R \leq x \leq R) : V = π \int_{- R}^{R} (R^{2} - x^{2}) d x = \frac{4}{3} π R^{3}$ .
Khối nón bán kính đáy $R$ , cao $h$ : quay $y = \frac{R x}{h} (0 \leq x \leq h) : V = \frac{1}{3} π R^{2} h$ .
Khối nón cụt (quay hình thang vuông có đáy $r, R$ , cao $h) : V = \frac{πh}{3} (R^{2} + R r + r^{2})$ .

Lưu ý Diện tích dùng

∣ f - g ∣

(luôn dương); thể tích khối tròn xoay có $π$ và bình phương hàm (không có giá trị tuyệt đối). Trục quay là

O x

: đồ thị phải nằm cùng phía trục quay (hàm không âm).

Tổng kết chương IV

Nguyên hàm: $F^{'} = f$ ; bảng nguyên hàm; tính tuyến tính.
Tích phân: $\int_{a}^{b} f d x = F (b) - F (a)$ ; tuyến tính, chia đoạn; diện tích hình thang cong.
Ứng dụng: $S = \int ∣ f - g ∣ d x; V = \int S (x) d x; V = π \int f^{2} d x$ .

Mô phỏng tương tác: diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay

Tô hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị, quay hình thang cong quanh trục Ox để tạo khối tròn xoay, quan sát thiết diện S(x).

Mô phỏngDiện tích hình phẳng, thể tích vật thể

Mở ở trang riêng ↗

Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

1. Tính diện tích hình phẳng

2. Tính thể tích vật thể

Mô phỏng tương tác: diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay

Sơ đồ tư duy

Tổng kết chương IV