Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Vectơ pháp tuyến Vectơ

n \neq = 0

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(α)

nếu giá của

n

vuông góc với

(α)

Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến.
$n$ là vectơ pháp tuyến thì $k n (k \neq = 0)$ cũng là vectơ pháp tuyến.

Tích có hướng của hai vectơ

u = (a; b; c), v = (a^{'}; b^{'}; c^{'})

$[u, v] = (b c^{'} - b^{'} c; c a^{'} - c^{'} a; a b^{'} - a^{'} b)$

Vuông góc với cả

u

và

v . [u, v] = 0 \Leftrightarrow u, v

cùng phương. Ghi nhớ bằng định thức cấp hai: bỏ cột thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt (theo thứ tự vòng tròn).

Ví dụ

u = (1; - 2; 0), v = (3; 1; - 4) : [u, v] = ((- 2) (- 4) - 1 \cdot 0; 0 \cdot 3 - (- 4) \cdot 1; 1 \cdot 1 - 3 \cdot (- 2)) = (8; 4; 7)

Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng Hai vectơ

u, v

là cặp vectơ chỉ phương của

(P)

nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với

(P)

. Khi đó $[u, v]$ là một vectơ pháp tuyến của

(P)

Ví dụ – từ ba điểm

A (1; - 2; 1), B (- 2; 1; 0), C (- 2; 3; 2) : A B = (- 3; 3; - 1), A C = (- 3; 5; 1) \Rightarrow [A B, A C] = (8; 6; - 6)

hay

(4; 3; - 3)

là pháp tuyến của

(A BC)

. Mặt phẳng trung trực của

A B

nhận

A B

làm pháp tuyến.

Vận dụng – moment lực Moment lực

M = [OP, F]

: có phương vuông góc cả cán mỏ lết lẫn lực; độ lớn tăng khi

OP

dài ra (thay

P

bởi

P^{'}

với

O P^{'} = 2 OP

thì moment gấp đôi)

\Rightarrow

cầm mỏ lết xa tâm ốc sẽ đỡ tốn sức.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Dạng tổng quát Mỗi mặt phẳng trong

O x yz

có phương trình

$A x + B y + C z + D = 0 (A, B, C$ không đồng thời bằng 0)

và ngược lại mỗi phương trình dạng đó là một mặt phẳng nhận

n = (A; B; C)

làm vectơ pháp tuyến.

Ví dụ

y + 1 = 0

là phương trình mặt phẳng;

x + 2 y - 3 z^{2} + 1 = 0, \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} + 2 = 0, x y + 5 = 0

không phải (có bình phương, mẫu, tích). Mặt phẳng

(α) : x + 2 y - z + 1 = 0

có pháp tuyến

(1; 2; - 1)

, cũng nhận

(2; 4; - 2)

là pháp tuyến; điểm

B (1; 1; 4)

thuộc

(α)

vì

1 + 2 - 4 + 1 = 0

Mặt phẳng đặc biệt

$(O x y) : z = 0; (O yz) : x = 0; (O x z) : y = 0$ .
$D = 0$ : mặt phẳng đi qua gốc $O$ . Thiếu biến nào thì mặt phẳng song song với trục đó (ví dụ $B y + C z + D = 0$ song song $O x$ ).

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Ba dạng thường gặp

Qua $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có pháp tuyến $n = (A; B; C)$ : $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ .
Qua một điểm, biết cặp vectơ chỉ phương $u, v$ : tìm $n = [u, v]$ rồi viết như trên.
Qua ba điểm không thẳng hàng $A, B, C$ : $n = [A B, A C]$ , qua $A$ .

Ví dụ

Qua $M (2; - 1; 0)$ , pháp tuyến $(3; - 4; 6) : 3 (x - 2) - 4 (y + 1) + 6 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow 3 x - 4 y + 6 z - 10 = 0$ .
Qua $A (2; 1; - 1), B (3; 2; 1), C (3; 1; 4) : A B = (1; 1; 2), A C = (1; 0; 5)$ không cùng phương nên $A, B, C$ không thẳng hàng; $n = (5; - 3; - 1) \Rightarrow 5 x - 3 y - z - 8 = 0$ .
Mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ của lăng trụ $A BC . A^{'} B^{'} C^{'}$ với $A (1; 2; 3), B (4; 3; 5), C (2; 3; 2), A^{'} (1; 1; 1) : n = [A B, A C] = (- 3; 5; 2) \Rightarrow 3 x - 5 y - 2 z + 4 = 0$ .

Phương trình theo đoạn chắn Mặt phẳng không qua gốc, cắt

O x, O y, O z

tại

A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) (ab c \neq = 0)

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Tình huống mở đầu

M (cos t - sin t; cos t + sin t; cos t) : M_{1} (1; 1; 1), M_{2} (- 1; 1; 0), M_{3} (- 1; - 1; - 1)

ứng với

t = 0, \frac{π}{2}, π

; mặt phẳng

(M_{1} M_{2} M_{3})

có phương trình $x + y - 2 z = 0$ . Với

M (t) : x + y = 2 cos t = 2 z

với mọi

t

, nên vật luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định.

4. Hai mặt phẳng vuông góc, song song

Vuông góc

(α) : A x + B y + C z + D = 0, (β) : A^{'} x + B^{'} y + C^{'} z + D^{'} = 0

có pháp tuyến

n, n^{'}

$(α) ⊥ (β) \Leftrightarrow n ⊥ n^{'} \Leftrightarrow A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} = 0$

Song song, trùng nhau

$(α) ∥ (β) \Leftrightarrow$ tồn tại $k$ để $n^{'} = k n$ và $D^{'} \neq = k D$ .
$(α) \equiv (β) \Leftrightarrow$ tồn tại $k \neq = 0 : A^{'} = k A, B^{'} = k B, C^{'} = k C, D^{'} = k D$ .

Ví dụ

(α) : x - 3 y + 2 z + 1 = 0

và

(β) : 5 x + y - z + 2 = 0

có

1 \cdot 5 + (- 3) \cdot 1 + 2 \cdot (- 1) = 0 \Rightarrow

vuông góc.

(α) : 3 x - y + z + 2 = 0, (β) : 32 x - 2 y + 2 z + 1 = 0 : n_{β} = 2 n_{α}

và

1 \neq = 2 \cdot 2 \Rightarrow

song song.
Mặt phẳng

(P)

qua

A (1; 2; - 2), B (2; 4; 1)

và vuông góc

(Q) : x + 3 y + z - 1 = 0

: cặp chỉ phương

A B = (1; 2; 3), n_{Q} = (1; 3; 1) \Rightarrow n_{P} = (- 7; 2; 1) \Rightarrow 7 x - 2 y - z - 5 = 0

5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Công thức Khoảng cách từ

M (x_{0}; y_{0}; z_{0})

đến

(P) : A x + B y + C z + D = 0

$d (M, (P)) = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$

Ví dụ

M (1; 2; - 1), (P) : x + 2 y - 2 z + 5 = 0 : d = \frac{∣1 + 4 + 2 + 5∣}{9} = \frac{12}{3} =

4.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song = khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt này đến mặt kia:

(P) : x + y + z + 2 = 0

và

(Q) : x + y + z + 6 = 0

: lấy

A (- 2; 0; 0) \in (P), d = \frac{∣ - 2 + 6∣}{3} = \frac{4}{3} = \frac{4 3}{3}

Vận dụng – camera Camera đặt tại

C (1; 2; 4)

, hướng về mặt phẳng

(P) : x + 2 y + 2 z + 3 = 0

, góc quan sát

115° : d = \frac{∣1 + 4 + 8 + 3∣}{3} = \frac{16}{3}

; bán kính vùng quan sát

= d \cdot tan (57, 5°) \approx

8,4 (theo đơn vị toạ độ).

Em có biết – các mặt trong cuộc sống Mặt ellipsoid

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1

; hyperboloid một tầng, hai tầng; mặt nón elliptic; paraboloid elliptic

z = \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}}

; paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa)

z = \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}}

. Học ở bậc cao hơn.

Mô phỏng tương tác: phương trình mặt phẳng trong Oxyz

Xoay hình để thấy mặt phẳng qua một điểm với vectơ pháp tuyến, mặt phẳng qua ba điểm, mặt phẳng theo đoạn chắn, vị trí hai mặt phẳng và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Mô phỏngPhương trình mặt phẳng trong Oxyz

Mở ở trang riêng ↗

Bài 14. Phương trình mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

4. Hai mặt phẳng vuông góc, song song

5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Mô phỏng tương tác: phương trình mặt phẳng trong Oxyz

Sơ đồ tư duy