Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

1. Phương trình đường thẳng

Vectơ chỉ phương Vectơ

u \neq = 0

là vectơ chỉ phương của đường thẳng

Δ

nếu giá của

u

song song hoặc trùng với

Δ

. Đường thẳng xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương; nếu

u

là vectơ chỉ phương thì

k u (k \neq = 0)

cũng là vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số

Δ

qua

A (x_{0}; y_{0}; z_{0})

, vectơ chỉ phương

u = (a; b; c)

$x = x_{0} + a t; y = y_{0} + b t; z = z_{0} + c t (t \in R)$

Mỗi giá trị

t

ứng với một điểm của

Δ

và ngược lại.

Phương trình chính tắc (

a, b, c

đều khác 0)

$\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$

Nếu một trong

a, b, c

bằng 0 thì chỉ có phương trình tham số.

Ví dụ

$Δ : x = - 1 + 3 t, y = 1, z = 2 t$ đi qua $M (- 1; 1; 0), u = (3; 0; 2)$ .
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 2}{1}$ : qua $A (1; 0; - 2), u = (2; 3; 1)$ .
Qua $M (1; - 2; 4), u = (3; - 5; 1)$ : tham số $x = 1 + 3 t, y = - 2 - 5 t, z = 4 + t$ ; chính tắc $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 5} = \frac{z - 4}{1}$ .
Qua $M (- 1; 4; 5)$ , vuông góc $(α) : 3 x + 2 y = 0$ : dùng $n = (3; 2; 0)$ làm vectơ chỉ phương $\Rightarrow x = - 1 + 3 t, y = 4 + 2 t, z = 5$ (không có phương trình chính tắc).

Đường thẳng qua hai điểm

A_{1}, A_{2}

Vectơ chỉ phương

A_{1} A_{2} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})

; tham số

x = x_{1} + (x_{2} - x_{1}) t \dots

; nếu cả ba hiệu khác 0 thì chính tắc

\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} = \frac{z - z _{1}}{z _{2} - z _{1}}

.
Ví dụ:

A (1; 2; - 1), B (2; 4; 0) : A B = (1; 2; 1) \Rightarrow x = 1 + t, y = 2 + 2 t, z = - 1 + t

Tình huống mở đầu – tấm bìa che tầm nhìn

M (2; 3; - 4), N (- 1; 0; 8) : MN = (- 3; - 3; 12) \Rightarrow MN : x = 2 - 3 t, y = 3 - 3 t, z = - 4 + 12 t

. Giao với

(O x y) (z = 0) : t = \frac{1}{3} \Rightarrow D (1; 2; 0)

, nằm giữa

M

và

N (0 < t < 1)

và

O D = 5 < 3 \Rightarrow

tấm bìa che khuất tầm nhìn.

2. Hai đường thẳng vuông góc

Điều kiện

Δ_{1}, Δ_{2}

có vectơ chỉ phương

u_{1} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), u_{2} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})

$Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow u_{1} \cdot u_{2} = 0 \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0$

Ví dụ

Δ_{1} : (1 + 2 t; - 1 - 3 t; 2 - t), Δ_{2} : (2 + s; 1 - 2 s; 3 + 8 s) : u_{1} = (2; - 3; - 1), u_{2} = (1; - 2; 8) : 2 + 6 - 8 = 0 \Rightarrow

vuông góc. Đường thẳng

\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}

có

u = (2; 1; - 1)

, tích vô hướng với

k = (0; 0; 1)

bằng

- 1 \neq = 0 \Rightarrow

không vuông góc

O z

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Dùng tích có hướng

Δ_{1}

qua

A_{1}

, vectơ chỉ phương

u_{1}; Δ_{2}

qua

A_{2}, u_{2}

Song song: $u_{1}$ cùng phương $u_{2}$ và $A_{1} \in / Δ_{2}$ .
Trùng nhau: $u_{1}$ cùng phương $u_{2}$ và $A_{1} \in Δ_{2}$ .
Cắt nhau: $[u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ và $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] = 0$ .
Chéo nhau: $A_{1} A_{2} \cdot [u_{1}, u_{2}] \neq = 0$ .

Cách khác: giải hệ Cho hai phương trình tham số (tham số

t

và

s

), xét hệ 3 phương trình hai ẩn

t, s

: vô nghiệm và

u_{1}

cùng phương

u_{2} \Rightarrow

song song; vô số nghiệm

\Rightarrow

trùng; nghiệm duy nhất

\Rightarrow

cắt; vô nghiệm và

u_{1}

không cùng phương

u_{2} \Rightarrow

chéo.

Ví dụ 1 – chéo nhau

Δ_{1} : (1 + t; 2 - t; - 1 + 2 t), Δ_{2} : \frac{x - 4}{3} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 1} . u_{1} = (1; - 1; 2), u_{2} = (3; 1; - 1); u_{1} \cdot u_{2} = 3 - 1 - 2 = 0

(vuông góc).

A_{1} A_{2} = (3; - 3; 1), [u_{1}, u_{2}] = (- 1; 7; 4)

, tích vô hướng

= - 3 - 21 + 4 = - 20 \neq = 0 \Rightarrow

chéo nhau.

Ví dụ 2 – cắt nhau

Δ_{1} : (1 - t; 2 + t; - 1 + 2 t), Δ_{2} : (- 6 + s; 5 + s; 5 + 2 s) : A_{1} A_{2} = (- 7; 3; 6), [u_{1}, u_{2}] = (0; 4; - 2) \neq = 0

, tích vô hướng

= 0 + 12 - 12 = 0 \Rightarrow

cắt nhau.

Ví dụ 3 – song song

\frac{x - 3}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{3}

và

\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z}{3}

: cùng vectơ chỉ phương; điểm

(3; 0; 1)

không thuộc đường thẳng thứ hai

\Rightarrow

song song.

Vận dụng Hai vật xuất phát từ

A (1; 2; 0), B (3; 5; 0)

với vận tốc

(2; 1; 3), (1; 2; 1)

: quỹ đạo là

(1 + 2 t; 2 + t; 3 t)

và

(3 + s; 5 + 2 s; s)

. Giải hệ

1 + 2 t = 3 + s, 2 + t = 5 + 2 s, 3 t = s

vô nghiệm

\Rightarrow

không cắt; (hai vectơ không cùng phương)

\Rightarrow

chéo nhau; hai vật không va chạm.

Lưu ý Phải kiểm tra điểm đầu có thuộc đường kia khi chứng minh song song/trùng; ghi nhớ cắt nhau cần cả

[u_{1}, u_{2}] \neq = 0

Mô phỏng tương tác: phương trình đường thẳng trong Oxyz

Xoay hình để thấy đường thẳng qua một điểm với vectơ chỉ phương, điểm chạy theo tham số t, đường thẳng qua hai điểm, hai đường thẳng vuông góc và vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Mô phỏngPhương trình đường thẳng trong Oxyz

Mở ở trang riêng ↗

Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

1. Phương trình đường thẳng

2. Hai đường thẳng vuông góc

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Mô phỏng tương tác: phương trình đường thẳng trong Oxyz

Sơ đồ tư duy