Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

Chương V. Phương pháp toạ độ trong không gian

1. Góc giữa hai đường thẳng

Công thức

Δ, Δ^{'}

có vectơ chỉ phương

u = (a; b; c), u^{'} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})

. Góc

(Δ, Δ^{'}) \in [0°; 90°]

$cos (Δ, Δ^{'}) = ∣ cos (u, u^{'}) ∣ = \frac{∣ a a ^{'} + b b ^{'} + c c ^{'} ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot a ^{'2} + b ^{'2} + c ^{'2}}$

Ví dụ

Δ : (1 + t; - 1 + t; 3), Δ^{'} : (1 + 2 s; - 2 + 2 s; 4 + s) : u = (1; 1; 0), u^{'} = (2; 2; 1) : cos = \frac{4}{2 \cdot 3} = \frac{2 2}{3} \Rightarrow

góc

\approx

19,5°.

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Công thức

Δ

có

u = (a; b; c)

, mặt phẳng

(P)

có

n = (A; B; C)

. Góc

(Δ, (P)) \in [0°; 90°]

$sin (Δ, (P)) = ∣ cos (u, n) ∣ = \frac{∣ a A + b B + c C ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \cdot A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$

Chú ý: dùng $sin$ (không phải

cos

) vì góc đường–mặt là phần bù của góc đường–pháp tuyến.

Ví dụ Trục

O x (i = (1; 0; 0))

và

(P) : 2 x - y + z + 2 = 0 (n = (2; - 1; 1)) : sin = \frac{2}{1 \cdot 2} = \frac{2}{2} \Rightarrow

góc 45°.

3. Góc giữa hai mặt phẳng

Công thức

(P), (Q)

có pháp tuyến

n = (A; B; C), n^{'} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})

. Góc

((P), (Q)) \in [0°; 90°]

$cos ((P), (Q)) = ∣ cos (n, n^{'}) ∣ = \frac{∣ A A ^{'} + B B ^{'} + C C ^{'} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} \cdot A ^{'2} + B ^{'2} + C ^{'2}}$

Ví dụ

(P) : x + 2 y + 2 z - 1 = 0

và

(Q) : x + y - z + 1 = 0 : cos = \frac{∣1 + 2 - 2∣}{3 \cdot 3} = \frac{3}{9} \Rightarrow

góc

\approx

78,9°.
Tứ diện

A (0; 0; 4), B (0; - 3; 0), C (0; 3; 0), D (3; 0; 0) : n_{A B D} = (- 4; 4; - 3), n_{A C D} = (4; 4; 3) \Rightarrow cos φ = \frac{9}{41} \Rightarrow φ \approx

77,3°.

Tổng hợp – ba công thức

Cặp	Vectơ dùng	Công thức
đường – đường	$u, u^{'}$	$cos = ∣ cos (u, u^{'}) ∣$
đường – mặt	$u, n$	$sin$ $= ∣ cos (u, n) ∣$
mặt – mặt	$n, n^{'}$	$cos = ∣ cos (n, n^{'}) ∣$

Lưu ý Luôn có giá trị tuyệt đối ở tử (góc giữa hai đường/mặt không tù). Quy ước làm tròn góc theo độ, đến chữ số thập phân thứ nhất. Tính toán nên đổi ra vectơ trước, rồi mới thay công thức.

Tình huống mở đầu – mái nhà nghiêng Ba cột cao 7, 6, 5 m ở ba đỉnh tam giác đều cạnh 4 m trên sàn: mái là mặt phẳng qua

A^{'}, B^{'}, C^{'}

; góc nghiêng bằng góc giữa mặt mái với mặt sàn

(O x y)

, tính qua

cos = \frac{∣ C ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

. Chọn

A (0; 0), B (4; 0), C (2; 23)

trên sàn:

A^{'} (0; 0; 7), B^{'} (4; 0; 6), C^{'} (2; 23; 5); A^{'} B^{'} = (4; 0; - 1), A^{'} C^{'} = (2; 23; - 2) \Rightarrow

pháp tuyến

[A^{'} B^{'}, A^{'} C^{'}] = (23; 6; 83); cos = \frac{8 3}{240} = \frac{2}{5} \Rightarrow

mái nghiêng khoảng 26,6°.

Mô phỏng tương tác: góc trong không gian

Xoay hình để thấy góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng cùng các bước tính theo toạ độ.

Mô phỏngCông thức tính góc trong không gian

Mở ở trang riêng ↗

Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

1. Góc giữa hai đường thẳng

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

3. Góc giữa hai mặt phẳng

Mô phỏng tương tác: góc trong không gian

Sơ đồ tư duy